Hipi Zhdripi i Matematikës/1085

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaNumri kompleks $\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{r}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\phi }}$ logaritmhet sipas rregullës për logaritmin e prodhimit, rrjedhimisht:

$\ln {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\phi }}\mathrm{=}\ln \mathrm{r}\mathrm{+}\mathrm{i}\mathrm{\phi }(...$ (...34)

Stampa:DygishtaPra, logaritmi i numrit kompleks $\mathrm{z}\mathrm{=}\mathrm{r}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\phi }}$ është numri kompleks $\mathrm{w}>\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{i}\mathrm{y}$, pjesa reale e të cilit është e barabartë me logaritmin e modulit $\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{=}\ln \mathrm{r}\mathrm{)}$, kurse pjesa imagjinare e barabartë me argumentin $\mathrm{(}\mathrm{y}\mathrm{=}\mathrm{\phi }\mathrm{)}$ e numrit Stampa:Mate. Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet:

(a) $\ln \mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{)}$ , (b) $\ln \mathrm{(}{\mathrm{i}}^{\mathrm{i}}\mathrm{)}$

Stampa:Z g j i d h j e Stampa:Dygishta(a) $\ln \mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{)}\mathrm{=}\ln \sqrt{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}\frac{\pi }{4}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\ln \mathrm{2}\mathrm{-}\mathrm{i}\frac{\pi }{4}\mathrm{=}\frac{1}{4}\mathrm{2}\ln \mathrm{2}\mathrm{-}\mathrm{i}\mathrm{\pi };$ Stampa:Dygishta(b) $\ln {\mathrm{i}}^{\mathrm{i}}\mathrm{=}\ln \mathrm{(}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\mathrm{)}\mathrm{i}\mathrm{=}\ln \mathrm{(}{\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\frac{\pi }{2}}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{\pi }{2}.$

4. ZGJIDHJA TRIGONOMETRIKE E EKUACIONIT BINOMIAL

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  4.1. - Ekuacioni i shkallës $n$ të formës:

$a{x}^n+b=0,ab\ne 0$ (...35)

quhet ekuacion binomial.

Stampa:DygishtaKur në ekuacionin binomial kufizën e lirë -$\frac{b}{a}$ e shprehim:

Stampa:Mate

përftohe

Stampa:Mate,

nga marrim këto zgjidhje

${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}\mathrm{=}\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{r}\mathrm{(}\cos \mathrm{\phi }\mathrm{+}\mathrm{i}\sin \mathrm{\phi }\mathrm{)}}\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}$,

respektivisht

${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}\mathrm{=}\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{r}}\mathrm{(}\cos \frac{\pi +2k\pi }{n}\mathrm{+}\mathrm{i}\sin \frac{\pi +2k\pi }{n}\mathrm{)}\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}.$ (...36)

ku $\mathrm{r}\mathrm{=}|-\frac{b}{a}|$

Stampa:DygishtaPra, ekuacioni binomial i shkallës Stampa:Mate ka gjithsëj Stampa:Mate zgjidhje. Stampa:S h e m b u l l i Të zgjidhet ekuacioni binomial

Stampa:Mate.

Stampa:Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (36) përftohet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}\mathrm{=}\sqrt[\mathrm{4}]{\frac{16}{m^2}}\mathrm{(}\cos \frac{\pi +2k\pi }{4}\mathrm{+}\mathrm{i}\sin \frac{\pi +2k\pi }{4}\mathrm{)},\mathrm{k}\mathrm{=}\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}$