Hipi Zhdripi i Matematikës/1083

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaNga formula e Moivrit përftohen formulat:

Stampa:Dygishta	$\sin \text{n}\mathsf{\phi }$	$\mathsf{=}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})\sin {\mathsf{\phi }}^{𝗇\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}){\sin }^{\mathrm{𝟥}}\mathsf{\phi }{\cos }^{𝗇\mathsf{-}\mathrm{𝟥}}\mathsf{\phi }\mathsf{+}\mathsf{\dots }\mathsf{+}$
		$\mathsf{+}\mathsf{(}\mathsf{-}\mathrm{𝟣}{\mathsf{)}}^{\frac{\text{s}-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s}){\sin }^{\mathrm{𝟤}}\mathsf{\phi }{\cos }^{𝗇\mathsf{-}𝗌}\mathsf{\phi }$ ku $𝗌\mathsf{=}\mathsf{\{}\begin{array}{c}𝗇,𝗄𝗎𝗋𝗇\mathsf{=}\mathrm{𝟤}𝗄\mathsf{+}\mathrm{𝟣}\\ 𝗇\mathsf{-}\mathrm{𝟣},𝗄𝗎𝗋𝗇\mathsf{=}\mathrm{𝟤}𝗄\end{array}$	{...30}

dhe

Stampa:Dygishta	$\cos 𝗇\mathsf{\phi }$	$\mathsf{=}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}){\cos }^{𝗇}\mathsf{\phi }\mathsf{-}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}){\cos }^{𝗇\mathsf{-}𝗌}\mathsf{\phi }{\sin }^{\mathrm{𝟤}}\mathsf{\phi }\mathsf{+}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}){\cos }^{𝗇\mathsf{-}\mathrm{𝟦}}\mathsf{\phi }{\sin }^{\mathrm{𝟦}}\mathsf{\phi }\mathsf{-}\mathsf{\dots }\mathsf{+}$
		$\mathsf{+}\mathsf{(}\mathsf{-}\mathrm{𝟣}{\mathsf{)}}^{\frac{s}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s}){\cos }^{𝗇\mathsf{-}𝗌}\mathsf{\phi }{\sin }^{𝗌}\mathsf{\phi }$ ku $𝗌\mathsf{=}\mathsf{\{}\begin{array}{c}𝗇,𝗄𝗎𝗋𝗇\mathsf{=}\mathrm{𝟤}𝗄\\ 𝗇\mathsf{-}\mathrm{𝟣},𝗄𝗎𝗋𝗇\mathsf{=}\mathrm{𝟤}𝗄\mathsf{+}\mathrm{𝟣}\end{array}$	(...31)

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet

$\mathsf{(}\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }\mathsf{+}𝗂\sin \mathsf{\theta }{\mathsf{)}}^{𝗇}$ku Stampa:Mate

Stampa:Z g j i d h j e Më parë numrin e dhënë e transformojmë në formën trigonometrike:

Stampa:Dygishta	$mod\mathsf{(}\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }\mathsf{+}𝗂\sin \mathsf{\theta }\mathsf{)}$	$\mathsf{=}\sqrt{\mathsf{(}\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }{\mathsf{)}}^{\mathrm{𝟤}}\mathsf{+}{\sin }^{\mathrm{𝟤}}\mathsf{\theta }}\mathsf{=}\sqrt{\mathrm{𝟤}\mathsf{(}\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }\mathsf{)}}$
		$\mathsf{=}\sqrt{\frac{4{\cos }^2\theta }{2}}\mathsf{=}\mathrm{𝟤}\cos \frac{\theta }{2}$,

Stampa:Dygishta	$\arg \mathsf{(}\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }\mathsf{+}𝗂\sin \mathsf{\theta }\mathsf{)}$	$\mathsf{=}𝖺𝗋𝖼𝗍𝗀\frac{\sin \theta }{(1+\cos \theta )}\mathsf{=}𝖺𝗋𝖼𝗍𝗀\frac{sin\frac{\theta }{2}}{\theta }$
		$\mathsf{=}𝖺𝗋𝖼𝗍𝗀𝗍𝗀\frac{\theta }{2}\mathsf{=}\frac{\theta }{2},$

pra, kemi:

$\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }\mathsf{+}𝗂\sin \mathsf{\theta }\mathsf{=}\mathrm{𝟤}\cos \frac{\theta }{2}\mathsf{(}\cos \frac{\theta }{2}\mathsf{+}𝗂\sin \frac{\theta }{2}\mathsf{)}\mathsf{.}$

Tani, në bazë të formulës (28), përftohet:

Stampa:Dygishta	${\mathrm{𝟣}\mathsf{+}\cos \mathsf{\theta }\mathsf{+}𝗂\sin \mathsf{\theta }}^{𝗇}$	$\mathsf{=}\mathsf{[}\mathrm{𝟤}\cos \frac{\theta }{2}\mathsf{(}\cos \frac{\theta }{2}\mathsf{+}𝗂\sin \frac{\theta }{2}\mathsf{)}{\mathsf{]}}^{𝗇}$
		$\mathsf{=}{\mathrm{𝟤}}^{𝗇}\cos \frac{\theta }{2}\mathsf{(}\cos \frac{n\theta }{2}\mathsf{+}𝗂\sin \frac{n\theta }{2}\mathsf{)}\mathsf{.}$

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet iStampa:Sup, ku Stampa:Z g j i d h j e Meqë:

Stampa:Mate

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta