Pavarshmëria e formave lineare

T e o r e m a: Nëse rangu i matricës së bashkësisë së formave lineare $f_1,f_2,\cdots ,f_m$ është $r$, ekzistojnë $r$ forma lineare linearisht të pavarura, ndërsa të gjitha forma tjera janë kombinime lineare homogjene prej atyre $r$ formave lineare të pavarura.

V ë r t e t i m: Meqenëse $r(A)=r$, ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$. E zëmë se një submatricë e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës:

$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{1r}& a_{1,r+1}& \dots & a_{1r}\\ a_{21}& a_{22}& a_{2r}& a_{2,r+1}& \dots & a_{2r}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{r1}& a_{r2}& a_{rr}& a_{r,r+1}& \dots & a_{rr}\\ a_{r+1,r}& a_{r+1,r}& a_{1r}& a_{1,r+1}& \dots & a_{r+1,n}\\ ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{mr}& a_{m,r+1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$ Stampa:Dygishta

Le të supozojmë, të kundërtën e pohimit të teoremës, se format $f_1,f_2,\cdots ,f_r$ janë linearisht të varura:

$c_1{f}_1+c_2{f}_2+\cdots +c_r{f}_r\equiv 0$

ku të gjitha konstantet $c_1,c_2,\cdots ,c$, nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për $f_1,.f_2{f}_r$ dhe grupohen kufizat sipas panjohurave $x_1,x_2,\cdots ,x_n$, përftohet:

$(c_1{a}_{11}+c_2{a}_{21}+\cdots +c_r{a}_{r1})x_1+(c_1{a}_{12}+c_2{a}_{22}+\cdots +c_r{a}_{r2})x_2+\cdots +$

$+(c_1{a}_{1r}+c_2{a}_{2r}+\dots c_r{a}_{rr})x_r\cdots +(c_1{a}_{1n}+c_2{a}_{2n}+\cdots +c_r{a}_{rn})x_n\equiv 0$.

Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene:

$\begin{array}{ccc}{c}_1{a}_{11}+c_2{a}_{21}+\cdots +c_r{a}_{r1}& =& 0\\ c_1{a}_{12}+c_2{a}_{22}+\cdots +c_r{a}_{r2}& =& 0\\ & ⋮& \\ c_1{a}_{1r}+c_2{a}_{2r}+\cdots +c_r{a}_{rr}& =& 0\\ & ⋮& \\ c_1{a}_{1n}+c_2{a}_{2n}+\cdots +c_n{a}_{rn}& =& 0\end{array}$

Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur $D\ne 0$) ka vetëm zgjidhje triviale: $c_1=0,c_2=0\cdots ,c_r=0$, sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero $(D_k=0,\mathrm{\forall }k=1,2,\cdots ,r$). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet $c_1,c_2,\cdots ,c_r$ nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare $f_1,f_2,\cdots ,f_m$, ekzistojnë $r$ nga to $f_1,f_2,\cdots ,f_r$ të cilat janë linearisht të pavarura.

Tani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare $f_{r+1},f_{r+2},\cdots ,f_m$ janë kombinime lineare homogjene prej $r$ formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare $f_j(j>r)$. Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit $r+1$:

$\mathrm{\Delta }=\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1r}& f_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2r}& f_2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{r1}& a_{r2}& \cdots & a_{rr}& f_r\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jr}& f_j\end{array}$

është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen $f_1,f_2,\cdots ,f_r,f_j$ me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre $n$ përcaktorëve:

$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1r}& a_{1s}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2r}& a_{2s}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{r1}& a_{r2}& \cdots & a_{rr}& a_{rs}\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jr}& a_{js}\end{array}\right|x_s=x_s{D}_s(s=1,2,\dots ,n)$

1°. Kur $1⩽s⩽r$, atëherë $D_s=0$, sepse dy shtyllat e tyre janë identike; :identike,

2°. Kur $r+1⩽s⩽n$, atëherë $D_s=0$, sepse rangu i matricës $A$ është $r$. :është $r$.

Pra, konkludojmë: $\mathrm{\Delta }=0$.

E zhvillojmë tani përcaktorin $\mathrm{\Delta }$ në kofaktorë sipas elementeve të shtyllës së fundit:

$A_1{f}_1+A_2{f}_2+\cdots +A_r{f}_r+A_j{f}_j=0$

nga përftohet:

$f_j=a_1{f}_1+a_2{f}_2+\cdots +a_r{f}_r$,

ku $a_i$ janë këto konstante $a_i=-\frac{A_i}{A_j}(i=1,2,\cdots ,r)$, kurse $A_j=D\ne 0$. Pra, $f_j$ është forma lineare e varur.