Format lineare

Le të jetë dhënë matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$. Nga kjo matricë i veçojmë $p$ rreshta dhe $p$ shtylla, ku $1⩽p⩽min(m,n)$. Elementet që ndodhen në prerjen e këtyre rreshtave dhe shtyllave formojnë një matricë katrore të rendit $p$ e cila quhet submatrica katrore e matricës $A$. Kuptohet matricës drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ i përkasin submatricat katrore të rendeve të ndryshme, prej rendit $1$ e deri te rendi $p=min(m,n)$. Pra, rendi më i lartë i submatricave katrore të matricës $A$ është $p=min(m,n)$. Kur $m⩽n$, atëherë matricës $A$ i përkasin gjithsej ($\begin{array}{c}m\\ n\end{array}$) submatrica katrore të rendit $m$, ndërkaq kur $n⩽m$, asaj i përkasin ($\begin{array}{c}n\\ m\end{array}$) submatrica katrore të rendit $n$.

Rangu i matricës

Përkufizimi

Matrica $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ ka rangun $r$ nëse ndërmjet submatricave katrore të kësaj matrice ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$, ndërsa submatricat katrore të rendit më të lartë se $r$, edhe nëse ekzistojnë, janë singulare. Rangu i zero-matricës është $0$.

Simboli

Rangu i matricës $A$ simbolikisht shënohet me $r(A)$ ose $rang(A)$.

Shembuj

P.sh. rangu i matricës

$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& 8& 2& 3\\ 1& 4& 4& 1& 2\\ 1& -2& 4& 1& 0\\ 3& 1& 12& 3& 2\end{array}\right]$

është $r=3$, pasi që të gjitha submatricat katrore të rendit të katërt të saj janë singulare, kurse ekziston një submatricë regulare e rendit tretë. E atillë është b.f. submatrica:

$\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ -2& 1& 0\\ 1& 3& 2\end{array}\right]$

Forma lineare

Përkufizimi

Shprehja e formës

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n$ (...41)

quhet forma lineare prej $n$ variablave $x_1,x_2,\cdots ,x_n$.

Simboli

Format lineare zakonisht emërtohen me $f_1,f_2,\cdots ,f_m$.

Shpehja

Kështu bashkësia (sistemi) e $m$ formave lineare shënohet

$\begin{array}{ccc}{f}_1& \equiv & a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ f_2& \equiv & a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ & ⋮& \\ f_m& \equiv & a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n.\end{array}$. (...41)

Vetit

Stampa:DygishtaNë këtë rast matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ quhet matricë e bashkësisë së formave lineare (41a).

Varshmëria e formave lineare

Përkufizimi

Format lineare $f_1,f_2,\dots ,f_m$ janë linearisht të varura, nëse ekzistojnë konstantet $c_1,c_2,\cdots ,c_m$, prej të cilave të paktën njëra është e ndryshme nga zero, në mënyrë që

$c_1{f}_1+c_2{f}_2+\cdots +c_m{f}_m\equiv 0$. (...42)

Stampa:DygishtaNëse ky identitet është i saktë vetëm kur të gjitha konstantet $c_1,c_2,\cdots ,c_m$janë të barabarta me zero, format lineare $f_1,f_2,\cdots ,f_m$ janë linearisht të pavarura.