Grupi dhe nëngrupi

Stampa:StyllaAlgjebraepërgjithëshme Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Përkufizimi

Semigrupi Stampa:Mate që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element Stampa:Mate ekziston elementi invers Stampa:Mate.

Sistemi i aksiomave të grupit

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët $A$ lidhur me veprimin binar $\circ$ është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a₁) Bashkësia $A$ është e mbyllur lidhur me veprimin binar $\circ$ , pra:

$(\mathrm{\forall }a,b\in A)(\mathrm{\exists }!c\in A)a\circ b=c$ ;

(a₂) Veprimi binar $\circ$ është asociativ, pra :

$(\mathrm{\forall }a,b,c\in A)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ ;

(a₃) Në bashkësinë $A$ ekziston elementi neutral për veprimin binar $\circ$ , pra :

$(\mathrm{\exists }!e\in A)(\mathrm{\forall }a\in A)a\circ e=e\circ a=a$ ; dhe

(a₄) Për secilin element $a\in A$ ekziston elementi invers $a^{-1}\in A$ ashtu që :

$a\circ a^1=a^{-1}\circ a=e$ .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupit

Nëse veprimi binar $\circ$ është komutativ, $(A,\circ )$ quhet grup komutativ ose abelian. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, $(A,+)$ , respektivisht $(A,\cdot )$ quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : $(\mathbb{Q},+),(ℝ,+),(ℝ\setminus \mathbb{Q},+)$ , ndërkaq grupe multiplikative janë : $(\mathbb{Q}\setminus \left\{0\right\},\cdot ),(ℝ\setminus \left\{0\right\},\cdot ),(A,\cdot )$ ku $A=\{-1,1,-i,i\}$ . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativ

P.sh.: Të tregohet se bashkësia $A=\{0,1,2,3,4\}$ në lidhje me mbledhjen sipas $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}5$ është grup aditiv $(A,{+}_5)$ , kurse bashkësia $B=\{1,2,3,4,5,6\}$ në lidhje me shumëzimin, sipas $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}7$ , është grup multiplikativ $(B,{\cdot }_7)$ .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}5$ , respektivisht $7$ duket kështu: $\begin{array}{cccccc}{+}_5& 0& 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 1& 2& 3& 4\\ 1& 1& 2& 3& 4& 0\\ 2& 2& 3& 4& 0& 1\\ 3& 3& 4& 0& 1& 2\\ 4& 4& 0& 1& 2& 3\end{array}\begin{array}{ccccccc}{+}_7& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 2& 3& 4& 5& 6& 1\\ 3& 3& 4& 5& 6& 1& 2\\ 4& 4& 5& 6& 1& 2& 3\\ 5& 5& 6& 1& 2& 3& 4\\ 6& 6& 1& 2& 3& 4& 5\end{array}$

Nga këto tabela shihet se:

(1) $(A,{+}_5)$ është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}5$:

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{E}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}& 0& 1& 2& 3& 4\\ \mathrm{E}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{t}& 4& 3& 2& 1& 0\end{array}$

(2) $(B,{\cdot }_7)$ është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}7$ :

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{E}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \mathrm{E}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}& 1& 4& 5& 2& 3& 6\end{array}$

Veprimet në grup

Në përgjithësi, kur në grupin $(A,\circ )$ :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\oplus$ , atëherë $(A,\oplus )$ quhet grup aditiv ; ndërsa kur

- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\odot$ , atëherë $(A,\odot )$ quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv Stampa:Mate elementi neutral shënohet me Stampa:Mate , kurse elementi invers (i kundërt) me Stampa:Mate .

Stampa:S h e m b u l l i - Të tregohet se bashkësia  $A=(a,b)|a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}$  në lidhje me veprimin $\oplus$ të përkufizuar me formulën :

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$

është grup Stampa:Mate .

Stampa:Z g j i d h j e : Meqë bashkësia Stampa:Mate në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :

(a₁) $\begin{array}{c}(\mathrm{\forall }(a,b),(c,d)\in A)(\mathrm{\exists }!(e,f)\in A)\\ (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)=(e,f)\end{array}$

(a₂) $\begin{array}{cc}(\mathrm{\forall }(a,b),(c,d),(e,f)\in A)& \\ (a,b)\oplus [(c,d)\oplus (e,f)]& =(a,b)\oplus (c+e,d+f)\\ & =(a+c+e,b+d+f)\\ & =(a+c,b+d)\oplus (e,f)\\ & =[(a,b)\oplus (c,d)\oplus (e,f)]\end{array}$

(a₃) $\begin{array}{c}(\mathrm{\forall }(a,b)\in A)(\mathrm{\exists }!(0,0)\in A)\\ (a,b)\oplus (0,0)=(0,0)\oplus (a,b)=(a,b)\end{array}$ dhe

(a₄) $\begin{array}{c}(\mathrm{\forall }(a,b)\in A)(\mathrm{\exists }!(-a,-b)\in A)\\ (a,b)\oplus (-a,-b)=(-a,-b)\oplus (a,b)=(0,0)\end{array}$

konkludojmë se $(A,\oplus )$ është grup aditiv.

Grupi i fundëm dhe i pafundëm

Grupi $(A,\oplus )$ quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia $A$ a është fundme apo e pafundme.

Përkufizimi

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit Stampa:Mate , i tillë që me përsëritjen e veprimit $\circ$ në Stampa:Mate riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë Stampa:Mate.

Elementi përlindës

Stampa:DygishtaElementi i tillë Stampa:Mate quhet përlindëse e grupit Stampa:Mate. Stampa:S h e m b u l l i Grupi Stampa:Mate, ku Stampa:Mate është grup ciklik me dy përlindëse:$\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ dhe $\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$.Vërtet: Stampa:Mate etj.

Vetitë e grupit

Prej aksiomave (aStampa:Sub) - (aStampa:Sub) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:

Vetia e elementit invers

Stampa:V e t i aNëse në grupin Stampa:Mate është element invers i elementit Stampa:Mate, edhe elementi Stampa:Mate është invers për elementin Stampa:Mate, d.m.th. Stampa:Mate.

Kjo veti për grupin aditiv Stampa:Mate ka këtë trajtë: Stampa:Mate.

Vetia e rrënjës

Stampa:V e t i a Në grupin Stampa:Mate secili barazim

(1) Stampa:Mate,2) Stampa:Mate

ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .Stampa:Mate, kurse për barazimin (2) trajtën Stampa:Mate. Stampa:DygishtaPër grupin aditiv abelian {{mate|(A, $\oplus$) barazimet

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate

kanë një zgjidhje të përbashkët: Stampa:Mate.

Vetit e implikuacioneve

Stampa:V e t i a Në grupin Stampa:Mate vlejnë këto implikacione:

Stampa:Mate, Stampa:Mate.

Stampa:DygishtaNë grupin aditiv abelian Stampa:Mate vlen implikacioni

Stampa:Mate.

Vetia e vlerfshmëris së barazimit

Stampa:V e t i a Në secilin grup Stampa:Mate vlen barazia:

Stampa:Mate.

Në grupin aditiv abelian Stampa:Mate kjo veti shprehet me formulën:

Stampa:Mate.

Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

Stampa:DygishtaLe të jenë Stampa:Mate dy grupe dhe Stampa:Mate pasqyrimi bashkësisë i Stampa:Mate në bashkësinë Stampa:Mate. Thuhet se grupet Stampa:Mate dhe Stampa:Mate janë homomorfe, kurse pasqyrimiStampa:Mate homorfizëm i grupit Stampa:Mate në grupin Stampa:Mate, nëse (fig. 1.17.):

Stampa:Mate.(...51)

Stampa:DygishtaKur Stampa:Mate, Stampa:Mate quhet homomorfizëm i grupit Stampa:Mate mbi grupin Stampa:Mate ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).

Fig. 1.18. Fig. 1.17.

Stampa:DygishtaNëse Stampa:Mate dhe Stampa:Mate janë elementet neutrale të grupeve homomorfe Stampa:Mate dhe Stampa:Mate, atëherë kemi:

Stampa:Mate	Stampa:Mate,
Stampa:Mate

çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit Stampa:Mate është element neutral i grupit Stampa:Mate.

Stampa:T e o r e m a Stampa:V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:

Stampa:Dygishta	(1) Stampa:Mate .	Stampa:Mate Stampa:Mate, ku Stampa:Mate;
Stampa:Dygishta	(2) Stampa:Mate	Stampa:Mate.

Stampa:DygishtaDuke shfrytëzuar këto formula marrim:

Stampa:Dygishta

Stampa:Mate

Stampa:Mate

dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.

Stampa:DygishtaHomomorfizmi injektiv i grupit Stampa:Mate në grupin Stampa:Mate quhet izomorfizëm i Stampa:Mate në Stampa:Mate (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi Stampa:Mate është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i Stampa:Mate mbi Stampa:Mate quhet izomorfizëm i Stampa:Mate mbi Stampa:Mate dhe thuhet se grupet Stampa:Mate, Stampa:Mate janë izomorfe ndërmjet tyre. Stampa:DygishtaTë konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.

Fig. 1.20.

Stampa:T e o r e m a Stampa:DygishtaKjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo ! Stampa:S h e m b u l l i Të shohim grupet Stampa:Mate dhe Stampa:Mate pasqyrimin e Stampa:Mate në Stampa:Mate që përcaktohet me formulën:

Stampa:Mate.

Stampa:DygishtaMeqë vlen:

Stampa:Mate,

themi se Stampa:Mate janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi Stampa:Mate homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi Stampa:Mate është izomorfizëm.

Fig. 1.19.

---