Ligjet e veprimeve binare: Dallime mes rishikimesh

Nga testwiki
Kërceni tek navigimi Kërceni tek kërkimi
Better
 
(Pa ndryshime)

Versioni aktual i datës 30 tetor 2022 19:24

Iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Veprimi komutativ

Në veprimet binare komutative rezultati i veprimit nuk varet prej rendit të elementeve, meqë „ Stampa:Mate në veprim ∘ me Stampa:Mate " dhe „ Stampa:Mate në veprim ∘ me Stampa:Mate " japin elementin e njëjtë Stampa:Mate . Kështu, për shembull, veprime binare komutative janë : mbledhja dhe shumëzimi i numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, mbledhja e vektorëve etj., ndërkaq veprime jokumutative janë: prodhimi kartezian i bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve, prodhimi i matricave, prodhimi vektorial i vektorëve etj.

Përkufizimi

Veprimi binar ∘ në bashkësinë Stampa:Mate quhet komutativ, nëse vlen :

Stampa:Mate(...46)

[1]

Veprimi asociativ

Te veprimet binare asociative rezultati i veprimit nuk varet prej mënyrës së vendosjes së kllapave (të cilat përcaktojnë rendin e kryerjes së veprimevet), nëse ruhet rendi i elementeve. Për shembull, veprime asociative janë : mbledhja dhe zbritja e numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve (funksioneve) etj . Veprime joasociative janë : prodhimi kartezian i bashkësive, prodhimi vektorial i vektorëve etj .

Përkufizimi

Veprimi binar ∘ në bashkësinë Stampa:Mate është asociativ, nëse vlen:

Stampa:Mate . (...47)

[2]

Veprimi distributiv

Në bashkësinë ℝ, për shembull, shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes: Stampa:Mate , ndërkaq mbledhja nuk është distributiv ndaj shumëzimit : Stampa:Mate . Unioni dhe prerja e bashkësive janë dy veprime reciprokisht distributive ndaj njëri-tjetrit.

Përkufizimi

Në bashkësinë Stampa:Mate janë të përkufizuara dy veprime binare ∘ dhe * . Veprimi ∘ është distributiv ndaj veprimit * , nëse vlen :

Stampa:Mate . (...48)

[3]

Grupoidi

Për shembull : Stampa:Mate ku Stampa:Mate janë grupoide, ndërkaq: Stampa:Mate ku Stampa:Mate nuk janë grupoide.

Përkufizimi

Bashkësia jo e zbrazët Stampa:Mate në të cilën është i përkufizuar veprimi binar Stampa:Mate quhet grupoid lidhur me atë veprim dhe shënohet me Stampa:Mate .[4]

Semigrupi

P.sh. : Stampa:Mate ku Stampa:Mate janë semigrupe.

Përkufizimi

Grupoidi Stampa:Mate quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar ∘ është asociativ.[5]

Elementi neutral

Elementi neutral Stampa:Mate quhet edhe element njësi. Në bashkësinë ℝ elementi neutral për mbledhjen është Stampa:Mate (zero), ndërkaq për shumëzimin është Stampa:Mate . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët ∅ . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik Stampa:Mate . Grupoidi Stampa:Mate nuk ka elementin neutral.

Përkufizimi

Elementi Stampa:Mate quhet element neutral për veprimin ∘ në bashkësinë A, nëse vlen :

Stampa:Mate (...49)

[6]

Teorema

Nëse grupoidi Stampa:Mate përmban elementin neutral, ai është i vetmi.

VërtetimLe të supozojmë të kundërtën - se në Stampa:Mate ekzistojnë dy elemente neutrale Stampa:Mate për veprimin binar ∘ . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari Stampa:Mate me Stampa:Mate , Stampa:Mate me Stampa:Mate dhe së dyti Stampa:Mate me Stampa:Mate , Stampa:Mate me Stampa:Mate përftojmë :

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate,

prej kah rezulton se Stampa:Mate . Pra, konkludojmë se grupoidi Stampa:Mate nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin Stampa:Mate .

Elementi invers

P.sh., në semigrupin Stampa:Mate me elementin neutral Stampa:Mate , për cilindo element Stampa:Mate elementi invers është numri i kundërt Stampa:Mate , ndërkaq në semigrupin Stampa:Mate , përveç elementeve Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin Stampa:Mate me elementin neutral Stampa:Mate , për cilindo element Stampa:Mate , elementi invers është numri reciprok Stampa:Mate .

Përkufizimi

Kur semigrupi Stampa:Mate përmban elementin neutral Stampa:Mate , elementi Stampa:Mate quhet element invers i elementit Stampa:Mate në lidhje me veprimin ∘ , nëse vlen :

Stampa:Mate . (...50)

[7]

Simboli

P.sh., Stampa:Dygishta Elementi invers i elementit Stampa:Mate rëndom shënohet me Stampa:Mate .

Teorema

Nëse semigrupi Stampa:Mate për elementin Stampa:Mate përmban elementin invers Stampa:Mate , ai është i vetmi.

Vërtetim: Le të supozojmë të kundërtën - se Stampa:Mate janë dy elemente inverse të elementit Stampa:Mate . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari Stampa:Mate me Stampa:Mate , së dyti Stampa:Mate me Stampa:Mate përftojmë :

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate .

Meqë Stampa:Mate dhe veprimi ∘ është asociativ, kemi:

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate

d.m.th. se Stampa:Mate , çka duhej vërtetuar.

  1. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  5. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  6. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  7. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "https://sq.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Ligjet_e_veprimeve_binare&oldid=264"