Pasqyrimi invers

Stampa:StyllaAlgjebraepërgjithëshme Pasqyrimin Stampa:Mate e bashkësisë Stampa:Mate në bashkësinë Stampa:Mate zakonisht e shprehim me formulën Stampa:Mate . Mirëpo, nëse dëshirojmë që bashkësinë Stampa:Mate ta pasqyrojmë në bashkësinë Stampa:Mate , në pajtim me përkufizimin 4.1.1., shtrohet çështja e ekzistimit të një pasqyrimi të këtillë dhe shfaqet problemi i mundësisë që nga funksioni i dhënë Stampa:Mate të formohet një funksion tjetër Stampa:Mate , i tillë që secilit Stampa:Mate t'i shogërojë pikërisht një transformat Stampa:Mate , pra të vlejë  : Stampa:Mate . Ky funksion Stampa:Mate , nëse ekziston, quhet funksion invers i funksionit Stampa:Mate . Kuptohet pasqyrimi Stampa:Mate do të ekzistojë, nëse vlen  :

Stampa:Mate . (...37)

D.m.th. për funksionin Stampa:Mate ekziston funksioni invërs Stampa:Mate , atëherë dhe vetëm atëherë, kur Stampa:Mate është pasqyrim bijektiv. Në këtë rast pasqyrimet (funksionet) Stampa:Mate dhe Stampa:Mate quhen reciprokisht inverse. Pasqyrimi invers i pasqyrimit Stampa:Mate zakonisht shënohet me Stampa:Mate . Stampa:Dygishta Andaj, për pasqyrimin bijektiv Stampa:Mate ndërmjet bashkësive Stampa:Mate vlen :

Stampa:Mate (...38)

Skeda:Pasqyrimi invers.PNG Fig. 1.15.

ku nëse Stampa:Mate , atëherë Stampa:Mate dhe e anasjellta (fig. 1.15.).

Domeni dhe kodomeni

Meqë kushti i ekzistimit të funksionit invers Stampa:Mate për funksionin e dhënë Stampa:Mate është që Stampa:Mate të jetë një korrespondencë biunivoke ndërmjet bashkësive Stampa:Mate , Stampa:Mate , andaj konkludojmë:

(1) Domeni i Stampa:Mate është kodomen i Stampa:Mate , kodomeni i , Stampa:Mate është domeni i Stampa:Mate ,

(2) Stampa:Mate ;

(3) Stampa:Mate .

Kur funksioni Stampa:Mate jipet në mënyrë analitike Stampa:Mate , funksioni invers Stampa:Mate gjendet duke zgjidhur barazinë Stampa:Mate sipas Stampa:Mate-it dhe duke zëvendësuar në formulën e fundit simbolet e ndryshoreve ndërmjet tyre.

Shembuj

Pasqyrimi Stampa:Mate , ku Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , është dhënë me: $f=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ b& d& a& c& e\end{array}\right)$

Pasqyrimi invers Stampa:Mate është: $f^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ 3& 1& 4& 2& 5\end{array}\right)$

---

Pasgyrim i Stampa:Mate , ku Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , është dhënë me formulën Stampa:Mate .

Pasqyrimi invers Stampa:Mate është :

Stampa:Mate	Stampa:Mate	, pra:
	Stampa:Mate

Stampa:Mate	Stampa:Mate	, ose Stampa:Mate	Stampa:Mate
	Stampa:Mate		Stampa:Mate

---

Pasqyrimi Stampa:Mate është dhënë me formulën Stampa:Mate .

Pasqyrimi invers është Stampa:Mate :

Stampa:Mate pra : Stampa:Mate ose Stampa:Mate .

Mund të konstatojmë se $ℝ$ është domeni e $ℝ$Stampa:Sup kodomeni i funksionit Stampa:Mate , ndërsa $ℝ$Stampa:Sup domeni e $ℝ$ kodomen i Stampa:Mate .

---