Hipi Zhdripi i Matematikës/1097

rast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse $p(A)=0$, matrica $A$ quhet rrënja e polinomit $p(x)$, kurse polinomi $p(x)$ quhet polinom anulues për matricën $A$.

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë. Stampa:V ë r t e t i m Le të jenë $S=[d{\delta }_{ik}{]}_1^n$ dhe $A=[a_{ik}{]}_1^n$ çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit $n$. Meqë është: Stampa:Dygishta(a) $S\cdot A=(dE).A=d(E\cdot A)=dA$ ; dhe Stampa:Dygishta(b) $A\cdot S=A.(dE)=d(A\cdot E)=dA$ ,

prandaj konkludojmë se vlen relacioni $S.A=A\cdot S$. Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet barazia

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}^n& n{a}^{n-1}\\ 0& a^n\end{array}\right],kun\in N$ .

Stampa:DygishtaV ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,

Për $n=2$ kemi:

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}^2& 2a\\ 0& a^2\end{array}\right]$.

Stampa:DygishtaTani supozojmë se barazia është e saktë për $n=m-1(⩾-2)$:

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^{m-1}=\left[\begin{array}{cc}{a}^{m-1}& (m-1)a^{m-2}\\ 0& a^{m-1}\end{array}\right]$ .

Stampa:DygishtaKur këtë barazi e shumëzojmë me matricën $\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]$ del:

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^m=\left[\begin{array}{cc}{a}^{m-1}& (m-1)a^{m-2}\\ 0& a^{m-1}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}^m& m{a}^{m-1}\\ 0& a^m\end{array}\right]$.

çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë $\mathrm{\forall }n\in N$.

Stampa:S h e m b u l l i Të zgjidhet ekuacioni matricial

$2X+5E=3A$,

ku $E$ është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse $\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -2\\ 6& 4& -1\end{array}\right]$ .

Stampa:Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara: Stampa:Dygishta$2X=3A-5E=3\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -2\\ 6& 4& -1\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=$