Shih burimin për Veprimet me gjykime

{{StyllaAlgjebraepërgjithëshme|Gjykimet}}
Gjykimet e përbëra rëndom formohen prej gjykimeve të thjeshta me ndihmen e fjalëve: „''jo", „dhe", „ose", „nëse . . . , atëhere . . ." , „atëhere e vetëm atëherë''" . Këto fjalë-shprehje quhen ''lidhëza logjike'' . Duke përdorur lidhëzat logjike në gjykime kryhen operacione apo veprime themelore logjike. Kuptohet se secili gjykim i ri që formohet prej gjykimeve të dhëna me anën e veprimeve themelore logjike e ka vlerën e vet të saktësisë. Saktësia e gjykimit të përftuar varet vetëm prej saktësisë së gjykimeve që atë e formojnë . Pikërisht kjo varësi shgyrtohet në algjebrën e gjykimeve, meqë asaj nuk i interesojnë përmbajtjet e gjykimeve të formuara, por vetëm vlera e saktësisë së tyre.

Duhet theksuar se me negacionin, konjuksionin dhe disjunksionin mund të lidhen në mes tyre dy gjykime çfarëdo, plotësisht të pavarura, kurse në implikacionin e gjykimeve vlera e saktësisë së gjykimit të parë mund të influencojë në vlerën e saktësisë së gjykimit tjetër.
==Negacioni i gjykimit==
Veprimi më i thjeshtë logjik që përdoret në gjykime është ''negacioni'' (mohimi), të cilit, në gjuhën e zakonshme, i përgjigjet fjalëza „''jo''" (ose shprehja „''nuk është''" ).
===Përkufizimi===
Negacioni i gjykimit <math>{p}</math> quhet gjykimi <math>{\lnot}</math> <math>{p}</math> (lexo : jo p ose nuk është p) i cili është i saktë, respektivisht jo i saktë kur gjykimi <math>{p}</math> është jo i saktë, respektivisht i saktë.
===Simboli===
Simboli <math>\lnot</math> është shenja e negacionit. 
===Tabela e saktësisë===
Sipas përkufizimit del se tabela e saktësisë së negacionit duket kështu:

<math>
	\begin{array}{c|c}
		v(p)	& v(\lnot p)	\\
	\hline
		\top	& \bot		\\
		\bot	& \top		\\
	\end{array}
</math>
===Shembuj===
Le të jenë dhënë gjykimet : 
<math> p\!:\!1\in \mathbb{N},\ q\!:\! 35 \vdots   3,\ r\!:\!5 > 7,\ s\!:\!{ 1, 2, 3, 4}\!=\!{2, 4, 1, 3} </math> .<hr>

Negacionet e tyre janë gjykimet : 

<math>\lnot p\!:\!1 \in \mathbb{N},\ \lnot q\!:\!35 \not\vdots 3,\ \lnot  r\!:\!5 < 7,\ \lnot  s\!:\!{1, 2, 3, 4} \ne {2, 4, 1, 3} </math>, 

e vlerat e saktësisë së tyre:

<math>
	\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
	v(p) & \lnot p & v(q)  & v(\lnot q) & v(r) & v(\lnot r) & v(s) & v(\lnot s)\\
	\hline
	\top & \bot    & \bot  & \top 	    & \bot & \bot 	& \top & \bot\\
	\end{array}
</math>

===Vetitë===
Negacioni ( <math>\lnot</math> ) është një veprim ''unar'' në bashkësinë e gjykimeve, meqë me atë çdo gjykimi <math> p</math>, me vlerë të caktuar të saktësisë, i shoqërohet gjykimi i përbërë <math>\lnot p</math> me vlerë të kundërt të saktësisë . Në pajtim me këtë del se negacioni i gjykimit <math>\lnot p</math>, d.m.th. <math>\lnot </math> ( <math>\lnot  p) </math> është <math> p </math>, andaj <math> v (\lnot( \lnot p ))= v (p) </math>.

====Ligji i negacionit të dyfishtë====
Pra, gjykimet i ( <math>\lnot  p), p </math> kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë. Gjykime të këtilla quhen ekuivalente dhe shënohen me simbolin e ekuivalencës <math>\Leftrightarrow</math> :
:<math>\lnot (\lnot p) \Leftrightarrow p</math>
Kjo formulë shpreh të ashtuquajturën '' ligj i negacionit të dyfishtë ''.
==Konjuksioni i gjykimeve==
Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy (ose më shumë) gjykimeve çfarëdo me ndihmën e lidhëzëz „dhe", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet konjuksion.
===Përkufizimi===
Konjuksioni i dy gjykimeve <math>p, q</math> quhet gjykimi <math>p\land q</math> (lexo : p dhe q),i cili është i saktë kur janë të sakta të dy gjykimet <math>p, q</math>.
===Simboli===
Simboli <math>\land</math> është shenja e konjuksionit.

===Tabela e saktësisë===
Tabela e saktësisë së konjuksionit duket kështu :

<math> 
	\begin{array}{cc|c}
	v (p)  &  v (q) & v (p \land q)	\\
	\hline
	\top & \top & \top \\
	\top & \bot & \bot \\
	\bot & \bot & \bot \\
	\bot & \top & \bot \\
	\end{array}
</math>

Meqë vlerat e saktësisë së gjykimeve <math>p, q</math> mund të jenë <math>\top</math> ose <math>\bot</math>, tabela e saktësisë së konjuksionit mund të shkruhet më shkurt kështu :

<math>
	\begin{array}{c|cc}
	\land & \top & \bot	\\
	\hline
	\top & \top & \bot \\
	\bot & \bot & \bot \\
	\end{array}
</math>

===Shembuj===
* Le të jenë <math>p, q</math> këto dy gjykime<br><math>p</math> : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta ; dhe<br><math>q</math> : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë paralele.<hr>
Konjuksioni i tyre do të jetë :<br><math>p \land q</math> : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta dhe paralele.

* Le të jenë gjykimet : {{mate|p : (15,7){{Barazim}}1}} dhe {{mate|q :1 > - 2}}. Të formohet konjuksioni dhe të gjendet vlera e tij e saktesise.<hr>
<math>p\land q :(15,7)=1\land 1>-2,\ v(p\land q) = \top</math>, 
sepse 
<math>v((15,7)=1)=\top</math> dhe <math>v (1 > - 2)=\top</math> ...............................?

===Vetitë===


Konjuksioni është një veprim binar, megë lidh dy gjykime dhe si rezultat jep një gjykim të tretë, konjuksionin e tyre.


====Ligji i idempotencës dhe komutacionit====
Përkufizimi i konjuksionit të dy gjykimeve lehtë mund të zgjerohet edhe në rastin e <math>n</math> gjykimeve <math> (n \in \mathbb{N}, n \leqslant 2) </math>. Prej përkufizimit të konjuksionit dalin këto dy ligje të rëndësishme të logjikës së gjykimeve:

<math> p\land  q\Leftrightarrow p </math> , dhe <math> p\land  q\Leftrightarrow q\land  p </math> 

ligji i ''idempotencës'' dhe ai i ''komutacionit'' . Saktësinë e tyre e provojmë duke formuar tabelën e saktësisë për secilën formulë. P.sh. për të provuar ligjin e komutacionit formojmë këtë tabelë :

<math>
	\begin{array}{cc|cc}
	p & q & p\land  q & q\land  p	\\
	\hline
	\top & \top & \oplus & \oplus \\
	\top & \bot & \ominus & \ominus \\
	\bot & \top & \ominus & \ominus \\
	\bot & \bot & \ominus & \ominus \\
	\end{array}
</math>

Vlerat e rrethuara {{ote}} {{ojote}} në dy shtyllat e fundit të tabelës tregojnë se gjykimet <math> p\land  q, q\land  p </math> kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë, andaj themi se janë ekuivalente.

==Disjunksioni i gjykimeve==
Kur gjykimi përbërë formohet prej dy gjykimeve çfarëdo me ndihëmen e lidhëzës „ose" thuhet se ajo lidhëz përcakton veprimin logjik që quhet ''disjunkston''. Mirëpo, në gjuhën e zakonshme lidhëzja "ose" i ka dy kuptime - kuptimin ''inkluziv'' dhe atë ''eksluziv'' - , andaj duhet dalluar dy raste të posaçme të disjunksionit - ''disjunksionin e thjeshtë'' (zakonshëm, inkluziv) dhe ''disjunksionin ekskluziv'' (rigoroz). Lidhëzja "ose" perdoret në kuptimin inklu:ziv, kur nuk përjashtohet mundësia e saktësisë së njëkohshme e të dy gjykimeve, kurse ajo përdoret në kuptimin ekskluziv pikërisht kur përjashtohet ajo mundësi. Kështu b.f. në gjykimin e përbërë : "Trekëndëshi <math> ABC </math> është kënddrejtë ose dybrinjënjëshëm", lidhëzja „ose" e ka kuptimin inkluziv, sepse trekëndëshi në fjalë <math> ABC </math> në të vërtetë mund të jetë : 
*''a<sub>1</sub>''  kënddrejtë e brinjëndryshëm, 
*''a<sub>2</sub>'' këndpjerrët e dybrinjënjëshëm, ose 
*''a<sub>3</sub>'' kënddrejtë e dybrinjënjëshëm. 

Pra, këtu nuk përjashtohet mundësia që trekëndëshi në fjalë të jetë njëherit edhe kënddrejtë edhe i dybrinjënjëshëm . Ndërkaq, në gjykimin „Numri natyral <math> n </math> është çift ose tek", lidhëzja ,,ose" ka kuptimin ekskluziv - këtu përjashtohet mundësia që numri në fjalë {{mate|n}} të jetë njëherit edhe çift edhe tek. Pra, kuptimi ekskluziv i lidhëzës "ose" në të vërtetë e ka domethënien "ose . . .  . . . ose". 
===Përkufizimi===
{{P ë r k u f i z i m i|1.2.3.1.|Disjunksioni (inkluziv)}}

===Simboli===
Simboli <math> \vee </math> është ''shenja e disjunksionit''. 
===Tabela e saktësisë===
Tabela e saktësisë së disjunksionit duket kështu :
{|align="center"
|<math> 
	\begin{array}{c|c||c}
		v(p)  & v(p)  & v(p\vee q) \\
	\hline
		\top & \top & \top \\
 		\top & \bot & \top \\
		\bot & \top & \top \\
		\bot & \bot & \bot \\
	\end{array}
</math>
|ose shkurt
|<math> 
	\begin{array}{c|cc}
		\vee & \top & \bot \\
	\hline
		\top & \top & \bot \\
		\bot & \bot & \top \\
	\end{array}
</math>
|}

===Shembuj===
* Të provohet barazia  <math> v( \lnot(p\vee q) ) = v( \lnot p \vee  \lnot q ) </math>.<hr>
Barazinë e dhënë e provojmë duke formuar tabelën:

<math>
	\begin{array}{c|c|c||c|c|c||c}
	p &q &p\vee q &\lnot\lbrace p\vee q\rbrace  &\lnot p &\lnot q &\lnot p\land\lnot q \\
	\hline
	\top & \top & \top & \oplus & \bot & \bot & \ominus \\
	\top & \bot & \top & \oplus & \bot & \top & \ominus \\
	\bot & \top & \top & \oplus & \top & \bot & \ominus \\
	\bot & \bot & \bot & \oplus & \top & \top & \oplus  \\
	\end{array}
</math>

{{dygishta}}Vlerat e rrethuara {{ote}}, {{ojote}} në shtyllën e katërt dhe në atë të fundit të tabelës tregojnë se barazimi i dhënë është i saktë.
===Vetitë===
Kuptohet, edhe disjunksioni është veprim binar, ku vlen ligji i ''idempotencës'' dhe i ''komutacionit'':

<math>p\vee q\Leftrightarrow p, p\vee q\Leftrightarrow q\vee p</math>.

===Disjunksioni ekskuziv===
====Përkufizimi====
{{përkufizimi|Disjunksioni ekskluzi}}

====Simboli====
Simboli <math> \veebar </math> është shenja e ''disjunkstonit ekskluziv''.
====Tabela e saktësisë====
Tabela e saktësisë është

{|align="center"
|<math> 
	\begin{array}{c|c||c}
		v(p)  & v(p)  & v(p\veebar q) \\
	\hline
		\top & \top & \bot \\
 		\top & \bot & \top \\
		\bot & \top & \top \\
		\bot & \bot & \bot \\
	\end{array}
</math>
|ose shkurt
|<math> 
	\begin{array}{c|cc}
		\veebar & \top & \bot \\
	\hline
		\top & \bot & \bot \\
		\bot & \bot & \top \\
	\end{array}
</math>
|}

==Implikacioni i gjykimeve==
Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy gjykimeve tjera me ndihmën e lidhëzës "''nëse . . . , atëherë . . .",'' thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet ''implikacion''. Gjykimi që pason pas fjalës "''nëse''" quhet ''supozim'' (hipotezë, premisë), ndërsa gjykimi pas fjalës "''atëherë''" quhet ''konkluzion'' (tezë, pasojë). Kuptohet, hipoteza është fundamenti në të cilën rëndom bazohet konkluzioni. Kështu është rasti, p .sh. në implikacionet :
:<math> p : \mathrm{N\ddot{e}se}\ n\in\mathbb{N},\ \mathrm{at\ddot{e}her\ddot{e}}\ n^2 \in\mathbb{N} </math>; 
:<math> q : \mathrm{N\ddot{e}se}\ a < 0\ \mathrm{dhe}\ b < 0,\ \mathrm{at\ddot{e}her\ddot{e}}\ a\cdot b > 0 </math>;
:<math> r : \mathrm{N\ddot{e}se}\ n = 5,\ \mathrm{at\ddot{e}her\ddot{e}}\ (n^2 + 5n -1) \vdots 7 </math>;
:<math> s : \mathrm{N\ddot{e}se}\ x = 6,\ \mathrm{at\ddot{e}her\ddot{e}}\ \log (3x^2 - 8) = 2 </math>.
===Përkufizimi===
{{P ë r k u f i z i m i|1.2.4.1.|Implikacioni i dy gjykimeve}}
===Simboli===
Simboli <math> \Rightarrow</math>  është shenja e implikacionit. 
===Tabela e saktësisë===
Tabela e saktësisë së implikacionit është:
{|align="center"
|<math> 
	\begin{array}{c|c||c}
		v(p)  & v(p)  & v(p\Rightarrow q) \\
	\hline
		\top & \top & \top \\
 		\top & \bot & \bot \\
		\bot & \top & \top \\
		\bot & \bot & \top \\
	\end{array}
</math>
|ose shkurt
|<math> 
	\begin{array}{c|cc}
		\Rightarrow & \top & \bot \\
	\hline
		\top & \top & \bot \\
		\bot & \top & \top \\
	\end{array}
</math>
|}

===Shembuj===
*Le të jenë gjykimet : <math> p: \sqrt{2} = 1,5</math>  dhe <math> q : \pi\approx 3,14</math>. Të caktohen saktësisë e implikacioneve : <math>p\Rightarrow q, p\Rightarrow \lnot q, q \Rightarrow p, q\Rightarrow \lnot p</math><hr>
Meqë <math>v (p) =\bot , v (q) =\top</math> do të kemi:
<math>v (p\Rightarrow q)=\top, v (p\Rightarrow \lnot q)=\top, v (q\Rightarrow p)=\bot , v (q\Rightarrow \lnot p)=\top </math>
*Le të jenë p, q këto dy gjykime:
:<math>p : \mathrm{Numri\ natyral}\ n\ \mathrm{plotpjes\ddot{e}tohet\ me}\ 10;</math>
:<math>q : \mathrm{Numri\ natyral}\ n\ \mathrm{plotpjes\ddot{e}tohet\ me}\ 5.</math><hr>
Implikacioni i tyre do të jetë :

<math>p\Rightarrow q </math>: Nëse <math>n\vdots 10</math>, atëherë <math>n\vdots 5</math>.
===Vetitë===
Kuptohet, këtu vlera e saktësisë së gjykimit <math>q</math> varet prej saktësisë së gjykimit <math>p</math>. Nga ky shembull mund të vërehet edhe fakti se implikacioni është një ''veprim binar jokumutativ'', sepse në rastin e përgjithshëm

<math>v(p\Rightarrow q)\ne q\Rightarrow p)</math>

Për implikacionin <math>p\Rightarrow q</math>, implikacioni <math>q\Rightarrow p</math> quhet i ''anasjelltë''.
===Konsekuenca===
Rast i veçantë i implikacionit është ''konsekuenca'' - kur prej gjykimit <math>p</math> logjikisht rrjedh gjykimi <math>q</math>, i cili është i saktë vetëm kur <math>p</math> është i saktë . Raste të këtilla paraqiten në mes të teoremave matematike dhe konsekuencave të tyre, sikurse edhe në mes të supozimeve të teoremave dhe konkludimeve të tyre. Në këto raste implikacioni <math>p\Rightarrow q</math> lexohet edhe kështu : <math>p</math> është kusht i mjaftueshëm për <math>q; q</math> është kusht i nevojshëm për <math>p; q</math> është rrjedhim i <math>q</math> ; etj. Fakti se prej gjykimit <math>p</math> logjikisht nuk rrjedh gjykimi <math>q</math>, shënohet <math>p  \not \Rightarrow  q </math>.

====Shembuj====
Le të jetë gjykimi <math>p : a > 0 \land  b > 0</math> . <hr>
Si konsekuencë e gjykimit <math>p</math> mund të nxirret gjykimi <math>q:ab>0</math> , d.m.th. :

<math>a>0 \land  b>0 \Rightarrow  ab>0</math>.

Mirëpo, e anasjellta nuk vlen <math>(q \not \Rightarrow p)</math>, sepse <math>q</math> është vetëm kusht i nevojshëm (por jo i mjaftueshëm) për <math>p</math>, pra :

<math>ab>0\not\Rightarrow a>0 \land  b>0</math>.

==Ekuivalenca e gjykimeve==
Kur gjykimi i përbërë formohet nga dy (ose më shumë) gjykime të tjera me ndihmën e fjalëve (shprehjeve) ''„nëse dhe vetëm nëse", „atëherë dhe vetëm atëherë", „e nevojshme dhe e mjaftueshme"'', thuhet se përcaktohet me veprimin e ekuivalencës.
===Përkufizimi===
{{P ë r k u f i z i m i|1.2.5.1.|Ekuivalenca e gjykimeve}}

===Simboli===
Simboli <math>\Leftrightarrow </math>  është shenja e ekuivalencës.

===Tabela e saktësisë===
Tabela e saktësisë se ekuivalencës është :
{|align="center"
|<math> 
	\begin{array}{c|c||c}
		v(p)  & v(p)  & v(p\Leftrightarrow q) \\
	\hline
		\top & \top & \top \\
 		\top & \bot & \bot \\
		\bot & \top & \bot \\
		\bot & \bot & \top \\
	\end{array}
</math>
|ose shkurt
|<math> 
	\begin{array}{c|cc}
		\Leftrightarrow & \top & \bot \\
	\hline
		\top & \top & \bot \\
		\bot & \bot & \top \\
	\end{array}
</math>
|}

===Vetitë===
Kur krahasohen tabelat e saktësisë së implikacioneve <math> p \Rightarrow  q, q \Rightarrow  p</math>  dhe e ekuivalencës <math> p \Leftrightarrow  q</math>  , lehtë mund të shihet ligji logjik, i cili shpreh lidhjen në mes këtyre gjykimeve:

<math> (p \Leftrightarrow  q)(p \Rightarrow  q) \land  (q \Rightarrow  p)</math> 

:respektivisht del:

<math>
	\begin{array}{c|c||c|c||c|c}
	v(p) &v(q) &v(p\Rightarrow q) &v(q\Rightarrow p)  &v(p\Rightarrow q) \land v(q\Rightarrow p)  & v(q\Leftrightarrow p) \\
	\hline
	\top & \top & \top & \top & \oplus  & \oplus  \\
	\top & \bot & \bot & \top & \ominus & \ominus \\
	\bot & \top & \top & \bot & \ominus & \ominus \\
	\bot & \bot & \top & \top & \oplus  & \oplus  \\
	\end{array}
</math>

Pra, ekuivalenca <math> p \Leftrightarrow q</math> në të vërtetë është implikacion i dyfishtë <math> (p \Rightarrow q, q \Rightarrow  p) </math> , andaj ajo është veprim ''binar komutativ''.

====Shembuj====
Nëse <math> x_1 , x_2 </math> janë zerot e trinomit <math> t(x) = ax_2 + bx + c, a \ne 0</math> (d.m.th. <math> t(x_1 ) = 0, t(x_2 ) = 0) </math> , atëherë gjykimet <math> p: x_1 \ne x_2</math> dhe <math> q: b^2 - 4ac \ne 0 </math> janë ekuivalente:

<math> x_1 \ne x_2 \Leftrightarrow b^2 - 4ac \ne 0  </math> ,

sepse : <math> p \Rightarrow  q\ \text{dhe}\ q \Rightarrow  p  </math> .

----
<references/>
[[Kategoria:Algjebra e përgjithëshme]][[Kategoria:Gjykimet]]