Shih burimin për Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|MP}}
Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

<center><math>\begin{matrix}
a_{11}x_l+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
\end{matrix}</math>    (...32)</center>

ku numrat <math>a_{ik} \ (i, k=1, 2, 3)</math> janë koeficientet, ndërsa numrat <math>b_i \ (i=1, 2, 3)</math> janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

<center><math>D=\det [a_{ik}]^3_{1}</math></center>

quhet <i>përcaktor kryesor</i>, ndërsa

<math>
D_1=\begin{vmatrix}
b_1 	&a_{12}	&a_{13} \\ 
b_2 	&a_{22} &a_{23} \\
b_3	&a_{32}	&a_{33}
\end{vmatrix}, 
D2=\begin{vmatrix}
a_{11} 	&b_1 	&a_{13}	\\
a_{21} 	&b_2 	&a_{23}	\\
a_{31} 	&b_3 	&a_{33}
\end{vmatrix} 
,D3=\begin{vmatrix}
a_{11} 	&a_{12} &b_1	\\
a_{21} 	&a_{22} &b_2	\\
a_{31} 	&a_{32} &b_3
\end{vmatrix}</math>

quhen <i>përcaktorë karakteristikë</i> të sistemit (32). Treshi i renditur <math>(t_1,t_2,t_3)</math>quhet <i>zgjidhja</i> (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat <math>x_1, x_2, x_3</math> zëvendësohen me <math>t_1, t_2,t_3</math>. Dy sisteme ekuacionesh <math>S_1, S_2</math> me të panjohura të njëjta quhen sisteme <i>ekuivalente</i> nëse i kanë zgjidhje të barabarta.
==Formula e Cramerit==
Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:

:1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët <math>A_{11}, A_{21}, A_{31}</math> dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:
:<math>
\begin{matrix}
(a_{11}A_{11} +a_{21}A_{21} +a_{31}A_{31}) x_1 +(a_{12}A_{11} +a_{22}A_{21} +a_{32}A_{31}) x_2+
\\
\qquad +(a_{13}A_{11} +a_{23}A_{21} +a_{33}A_{31}) x_3=b_1A_{11} +b_2A_{21} +b_3A_{31}.
\end{matrix}</math>
:Meqenëse:
<center><math>
\begin{matrix}
a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=D \\
a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0 \\
a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31}=0 \\
\qquad b_1A_{11}+b_2A_{21}+b_3A_{31}=D_1 \\
\end{matrix}
</math></center>
:prandaj merret
<center><math>
Dx_1=D_1
\,</math>;</center>

:2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët <math>A_{12}, A_{22}, A_{32}</math> dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:
:<math>
\begin{matrix}
(a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+a_{31}A_{32}) x_1 +(a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32}) x_2
\\
\qquad+(a_{13}A_{12}+a_{23}A_{22}+a_{33}A_{32}) x_3=b_1A_{12}+b_2A_{22}+b_3A_{32}.
\end{matrix}</math>
:Në këtë barazim koeficientet pranë <math>x_1</math> dhe <math>x_3</math> janë zero, koeficienti i <math>x_2</math> është <math>D</math>, kurse kufiza e lirë është <math>D_2</math>,prandaj
<center><math>Dx_2=D_2 \,</math>;</center>

:3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët <math>A_{13}, A_{23}, A_{33}</math> dhe pastaj i mbledhim:
:<math>
\begin{matrix}
(a_{11}A_{13}+a_{21}A_{23}+a_{31}A_{33}) x_1+(a_{12}A_{13}+a_{22}A_{23}+a_{32}A_{33}) x_2+
\\
\qquad+(a_13A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A33) x_3=b_1A_{13}+b_2A_{23}+b_3A_{33}.
\end{matrix}
</math>
:Këtu koeficientet e <math>x_1</math> dhe <math>x_2</math> janë zero, koeficienti i <math>x_3</math> është <math>D</math>, kurse kufiza e lirë është e barabartë me <math>D_3</math>,prandaj kemi:
<center><math>Dx_3=D_3 \,</math>.</center>

:Kështu: nëse <math>D\ne 0</math>, zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:
<center><math>
x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac {D_2}{D},\quad x_3=\frac{D_3}{D}, 
</math> (...33)</center>
:që quhen <i>formula të Cramerit</i><ref>6) Sipas emrit të matematikanit të shquar zviceran <i>Gabriel Cramer</i> (17U4-1752).</ref>.

==Shembuj==
Me formulat e <i>Cramerit</i> të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
<center><math>
\begin{matrix}
2x_1	+3x_2	+5x_3	=2 \\
\ x_1	+2x2	-\ x_3	=5 \\
3x_1	-\ x_2	+\ x_3	=4
\end{matrix}
</math></center>

<u>Zgjidhje:</u>Përcaktorët e sistemit janë:

<center><math>\begin{matrix}
D=\begin{vmatrix} 
2	&3	&5	\\
1	&2 	&-1	\\
3	&-1	&1
\end{vmatrix}=-4S,

&

D_1=\begin{vmatrix} 
2	&3	&5	\\
5	&2	&-1	\\
4	&-1	&1
\end{vmatrix}=-90,

\\

D_2=\begin{vmatrix} 
2	&2	&5	\\
1	&5	&-1	\\
3	&4	&1
\end{vmatrix}= -45,

&

D_3=\begin{vmatrix} 
2	&3	&2	\\
1	&2 	&5 	\\
3	&-1	&4
\end{vmatrix}=45.

\end{matrix}</math></center>
:Me zbatimin e formulave (33) marrim:
<center><math>x_1=2, x_2=1, x_3=-1 \,</math>.</center>
----

Me formulat e <i>Cramerit</i> të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
	
<center><math>
\begin{matrix}
5ax_1-	4bx_2+	    2cx_3	=3abc \\
3ax_1-	6bx_2+	    5cx_3	=2abc \\
2ax_1-	3bx_2+\      cx_3	=0\quad
\end{matrix}
</math></center>

<u>Zgjidhje:</u>Përcaktorët e sistemit janë:

<center><math>D=23abc; \ D_1=23ab^2c^2; \ D_2=23a^2bc^2; \ D_3=23a^2b^2c.</math></center>
Supozojmë se <math>a, b, c \ne 0</math> dhe zbatojmë formulat e <i>Cramerit</i>:
<center><math>x_1=bc, \ x_2=ac, \ x_3=ab,</math></center>

pra, treshi i renditur <math>(bc, \ ac, \ ab)</math> paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.

[[Kategoria:Matricat]][[Kategoria:Përcaktorët]][[Kategoria:Ekuacionet]]