Shih burimin për Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|MP}}
Forma e përgjithshme e sistemit të <math>n</math> ekuacioneve (barazimeve) lineare me <math>n</math> të panjohura është:

<center><math>\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1n}x_n=b_1	\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots +a_{2n}x_n=b_2	\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \vdots	\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+ \cdots +a_{nn}x_n=b_n
\end{matrix}</math></center>

ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor <math>D</math>, përcaktorët karakteristikë <math>D_k (k=1, 2, \cdots, n)</math> dhe zgjidhja <math>(t_1, t_2, \cdots, tn)</math> e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e <i>Cramerit</i> respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët <math>A_{ik}</math> të elementeve <math>a_{ik}</math>, ku <math>i=1, 2, \cdots, n</math>he pastaj ato ekuacione i mbledhim njëherit duke grupuar kufizat sipas të panjohurave <math>x_i</math>;<br>

<center><math>( \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ik})x_1 +( \sum_{i=1}^{n} a_{i2}A_{ik}) x_2 + \cdots +(\sum_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ik})x_k+ \cdots </math></center>

<center><math>+(\sum_{i=1}^{n} a_{in}A_{ik}) x_n=( \sum^{n}_{i=1}b_iA_{ik}) .</math></center>

Tani duke pasur parasysh formulat:

(a) <math>\sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ik}=0, \forall j\ne k</math>;

(b) <math>\sum^{n}_{i=1} a_{ij}A_{ik}=D, \forall j=k</math>;

(c) <math>\sum^{n}_{i=1}b_iA _{ik} = D_k, k =1, 2, \cdots , n</math>

barazimi i fundit merr këtë formë:

<center><math>(\sum^{n}_{i=1}, a_{ik}A_{ik})x_k= \sum^{n}_{i=1} b_iA_{ik}</math></center>

respektivisht

<center><math>Dx_3k=D_k, \ k=1, 2,\cdots, n</math></center>

Kur supozojmë se <math>D\ne 0</math>, përftohen formulat e <i>Cramerit</i>: 

<center><math>x_3k=\frac {D_k}{D}, \ k=1,2,\cdots,n</math>	(...35)</center>

Nëse në sistemin (34) kufizat e lira janë të barabarta me zero (<math>b_i=0, \forall i=1, 2, \cdots , n</math>), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve <i>homogiene</i>. Kur <math>D \ne 0</math>, ky sistem ka vetëm zgjidhjen <i>triviale</i>:

<center><math>x_{31}=0, \; x_2=0,\cdots, x_n=0.</math></center>
==Shembuj==
Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

<center><math>\begin{matrix}
\ x_1	+2x_2	+3 x_3	+4x_4=\ 5 \\
2x_1	+\ x_2	+2 x_3	+3x_4=\ 1 \\
3x_1	+2x_2  +\ x_3	+2x_4=\ 1 \\
4x_1	+3 x_2	+2 x_3	+ x_4\ = -5 \\
\end{matrix}</math></center>

<u>Zgjidhje</u> Përcaktorët e këtij sistemi janë:

<center><math>D=-20, D_1=40, D_2=-40, D_3=60, D_4=-60</math>.</center>

Me aplikimin e formulave të <i>Cramerit</i> përftohet : <math>x_1=-2, x_2=2, x_3=-3</math> dhe <math>x_4=3</math>, prandaj katërshi i renditur (<math>-2, 2; - 3; 3</math>) është zgjidhja e sistemit të dhënë.

[[Category:Matricat]][[Category:Përcaktorët]][[Category:Ekuacionet]]