Shih burimin për Përcaktimi praktik i rangut të matricës

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|Matricat}}

Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice <math>A</math> i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.

==Forma kanonike e matricës==
Matrica e tipit <math>m \times n</math> të formës

{| border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=0 style="border: 0px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|<div style="position: relative">
<math>\begin{bmatrix}
1 	&0 	&0 	& \cdots 	&0	&	\\
0 	&1 	&0 	& \cdots 	&0	&	\\
0 	&0 	&1 	& \cdots	&0	&0	\\
\vdots	&	&	& \ddots	&	&	\\
0 	&0 	&0 	& \cdots	&1	&	\\
	&0	&	&		& 	&0	\\
\end{bmatrix}</math>
<div style="position:absolute;border: 1px ;border-style: dashed; width:25px;height:153px;color:black;font-size:90%;right:0px;top:1px"> </div>
</div>
<div style="position:absolute;border: 1px ;border-style: dashed; width:171px;height:25px;color:black;font-size:90%;left:0px;top:133px"> </div>
</div>
|}

quhet forma <i>kanonike e matricës</i>. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë <math>A</math> mund të transformohet në formën kanonike (43).
==Transformimi i matricës në formë kanonike==
Me këtë qëllim le të shohim matricën <math>A =[a_{ik}]_{m.n} (\ne 0)</math>. Supozojmë se <math>a_{11} \ne 0</math> (në rast se ky kusht nuk plotësohet, <math>a_{11}=0</math>, atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës <math>A</math> e shumëzojmë me numrin <math>\frac {1}{a_{11}}</math> përftohet matrica ekuivalente:

<center><math>\begin{bmatrix}
1	&	\frac {a_{12}} {a_{11}}	&	\cdots	&\frac {a_{1n}} {a_{11}} 	\\
a_{21}	&	a_{22}			&	\cdots	&a_{2n}				\\
\vdots	&				&		&				\\
a_{m1}	&	a_{m2}			&	\cdots	&a_{mn}				\\	

\end{bmatrix}</math></center>

Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:

<center><math>
 - \frac {a_{12}} {a_{11}} 	
,\ - \frac {a_{13}} {a_{11}}  
,\  \cdots 	
,\ - \frac {a_{1n}} {a_{11}} </math></center>

dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë, <math>\cdots </math>, shtyllës <math>n</math>. Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:

<center><math>\begin{bmatrix}
1	&	0	& 0 	& \cdots	&	0	\\
a_{21}	&	b_{22}	& b_{23}	& \cdots	&	b_{2b}	\\
\vdots	&		&		&		&		\\
a_{m1}	&	b_{m2}	&	b_{m3}	&		&	b_{mn}	
\end{bmatrix}</math></center>

Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat <math>-a_{21}, -a_{31}, \ldots -a_{m1}</math> dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, <math>\cdots</math> , rreshtit <math>m</math>. Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:

<center><math>\begin{bmatrix}
1	&0	&0	& \cdots &0 \\
0	&b_{22}	&b_{23} & \cdots &b_{2n} \\
\vdots	&		&		&		&		\\
0	&b_{m2}	&b_{m3} &\cdots &b_{mn} \\ 
\end{bmatrix}</math></center>

Supozojmë se <math>b_{22} \ne 0</math> dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën

<center><math>\begin{bmatrix}
b_{22} 	& b_{23} 	& \cdots 	& b_{2n}	\\
b_{32} 	& b_{33} 	& \cdots 	& b_{3n}	\\
\vdots	&		&		&		\\
b_{m2} 	& b_{m3} 	& \cdots 	& b_{mn}	\\
\end{bmatrix}</math></center>

me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:

<center> <math>\begin{bmatrix}
1 	& 0 	& 0		& \cdots 	& 0 	 \\
0 	& 1 	& 0		& \cdots 	& 0 	 \\
0 	& 0 	& c_{33} 	& \cdots 	& c_{3n} \\
\vdots	&	&		&		&	 \\
0 	& 0 	& c_{m3} 	& \cdots 	& c_{mn} \\
\end{bmatrix}</math> </center>

Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë <math>A= [a_{ik}]_{m,n}</math> nuk transformohet në formën kanonike (43).

<i>Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj</i>.
===Shembuj===
Për shembull:

{|
|
:<math>A= \begin{bmatrix}
1	& \  4	& \ 4	& 1	&2 \\
2	& \  5	& \ 8	& 2	&3 \\
1	&  -\!2	& \ 4	& 1	&0 \\
3	& \  1	&  12	& 3	&2
\end{bmatrix}</math>
|(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me <math>-4, -4, - 1, -2</math> dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& \  0	& 0	& 0	& \ 0   \\
2	& -\!3	& 0	& 0	& -\!1  \\
1	& -\!6	& 0	& 0	& -\!2  \\
3	& -\!11	& 0	& 0	& -\!4
\end{bmatrix}</math>
|(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me <math>- 2, - 1, - 3</math> dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& \ 0	& 0	& 0	& \ 0		\\
0	& -3	& 0	& 0	& -1		\\
0	& -6	& 0	& 0	& -2		\\
0	& -11	& 0	& 0	& -4		\\
\end{bmatrix}</math>
|(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& \ 0	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& -1	& -3	& 0	& 0		\\
0	& -2	& -6	& 0	& 0		\\
0	& -4	& -\!11	& 0	& 0		\\
\end{bmatrix}</math>
|(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me <math>-1</math>)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& 0	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 1	& \ 3	& 0	& 0		\\
0	& 2	& \ 6	& 0	& 0		\\
0	& 4	& 11	& 0	& 0		\\
\end{bmatrix}</math>
|(Shumëzojmë shtyllën e dytë me <math>-3</math> dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& 0	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 1	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 2	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 4	& -1	& 0	& 0		\\
\end{bmatrix}</math>
|(Shumëzojmë rreshtin e dytë me <math>-2</math> dhe <math>-4</math> dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& 0	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 1	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 0	& \ 0	& 0	& 0		\\
0	& 0	& -1	& 0	& 0		\\
\end{bmatrix}</math>
|(Shumëzojmë rreshtin e katërt me <nowiki>-1</nowiki> dhe permutojmë me rreshtin e tretë)
|-
|
:<math>\thicksim \begin{bmatrix}
1	& 0	& 0	& 0	& 0		\\
0	& 1	& 0	& 0	& 0		\\
0	& 0	& 1	& 0	& 0		\\
0	& 0	& 0	& 0	& 0		\\
\end{bmatrix}</math>
|}

Pra, përftuam matricën në formën kanonike, nga del se <math>r (A)= 3</math>.

[[Category:Matricat]]