Shih burimin për Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|MP}}
Kur në matricën katrore <math>A = [a_{ik}]^n_{1}</math> secili element i saj <math>a_{ik}</math> zëvendësohet me kofaktorin <math>A_{ki}</math> elementit <math>a_{ki}</math> të <math>\det A</math> përftohet një matricë që quhe't <i>matricë e adjunguar</i> (matricë reciproke) e matricës <math>A</math> dhe shënohet <math> adj \ A</math>, pra:

<center><math>adj \ A=\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}</math>(...29)</center>

Përcaktori i matricës së adjunguar (29) quhet përcaktor <i>i adjunguar</i> i matricës <math>A</math> dhe shënohet <math>\det  adj \ A</math>, pra:

<center><math>\det \ adj \ A=\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}</math>(...30)</center>

Meqenëse, në bazë të identiteteve:

<center><math>a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+ \cdots +a_{in}A_{kn}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}</math>	(...28b)</center>

<center><math>a_{1i}A_{1k}+a_{2i}A_{2k}+ \cdots +a_{ni}A_{nk}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}</math>	(...28c)</center>

ku <math>D=\det A, \ i,k=l, 2, \cdots , n</math> dhe në bazë të formulës (18) për prodhimin e matricave, del:

<center><math>A \cdot adj\,A=
\begin{bmatrix}
D	&	&	&0	\\
	&D	&	&	\\
	&	&\ddots	&	\\
0	&	&	&D	
\end{bmatrix}</math>(...29a)</center>

prandaj

<center><math>(\det A) (\det adj\,A)=(\det A)^n \,</math>(...31}</center>

respektivisht

<center><math>\det adj\,A=(\det A)^{n-1} \,</math>.(...31a)</center>
==Shembuj==
Të gjindet <math>adj\,A</math> dhe <math>\det adj\,A</math>, nëse

<center><math>A=\begin{bmatrix} 
3	&-4	&5	\\
2	&-3	&1	\\ 
3	&-5	&-1 
\end{bmatrix}</math>.</center>

<u>Z g j i d h j e :</u> Duke zbatuar formulën (30) përftohet:

{|
|
:<math>adj\,A</math>
|<math>=
\begin{bmatrix}
\begin{vmatrix}
-3	&1	\\
-5	&-1
\end{vmatrix}		
&-
\begin{vmatrix}
-4	&6	\\
-5	&-1
\end{vmatrix}		
&
\begin{vmatrix}
-4	&5	\\
-3	&1
\end{vmatrix}	
\\-
\begin{vmatrix}
2	&1	\\
9	&-1
\end{vmatrix}		
&
\begin{vmatrix}
3	&5	\\
3	&-1
\end{vmatrix}		
&-
\begin{vmatrix}
3	&5	\\
5	&1
\end{vmatrix}	
\\
\begin{vmatrix}
2	&-3	\\
3	&-5
\end{vmatrix}		
&-
\begin{vmatrix}
3	&-4	\\
3	&-5
\end{vmatrix}		
&
\begin{vmatrix}
3	&-4	\\
2	&-3
\end{vmatrix}
\end{bmatrix}
</math>
|-
| ||<math>=
\begin{bmatrix}
8	&-29	&11	\\
5	&-18	&7	\\
-1	&3	&-1
\end{bmatrix}
</math>
|}

Meqë <math>\det A= - 1</math>, në bazë të formulës (31a), del:

<center><math>\det adj\,A=(-1)^2=1</math>,</center>

gjë që konfirmohet edhe me:

<center><math>\det \begin{vmatrix}
8	&-29	&11	\\
5	&-18	&7	\\
-1	&3	&-1
\end{vmatrix}=1</math>.</center>

[[Category:Matricat]][[Category:Përcaktorët]]