Shih burimin për Hipi Zhdripi i Matematikës/1282

{{Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta}}
{{V ë r t e t i m}} Forma implicite e këtij funksioni është <math>x= \mathrm{tg}\ y</math> i cili kur derivohet marrim:

<center>	<math>
1=\frac{y'}{\cos^2 y}\quad	y'=\cos^2 y=\frac{1}{1 +\mathrm{tg}^2 y}</math>.	</center>	

:Kur në këtë barazi e zëvendësojmë <math>\mathrm{tg}\ y = x</math> del:

<center>	<math>
y'=\frac{1}{1+x^2}\quad	 \mathrm{ose}\ (\mathrm{arc\ tg}\ x)'=\frac{1}{1+x^2}</math>.	</center>	

{{dygishta}}	Për funksionin e përbërë <math>y=\mathrm{arc}\ \mathrm{tg}\ u</math> kemi:

<center>	<math>(\mathrm{arc}\ \mathrm{tg}\ u)' =\frac{u'}{1 +u^2}</math> .	(59a)	</center>	

{{T e o r e m a|3.6.11.|Derivati i harkfunksionit <math>y=\mathrm{arc}\ \mathrm{ctg}\ x</math> është i barabartë me <math>-\frac{1}{1 + x^2}</math>}} , pra

{{V ë r t e t i m}} Marrim identitetin <math>\mathrm{arc}\ \mathrm{tg}\ x + \mathrm{arc}\ \mathrm{ctg}\ x =\frac{\pi}{2}</math>. Me derivimin e tij përftohet: <math>(\mathrm{arc}\ \mathrm{tg}\ x)'+(\mathrm{arc}\ \mathrm{ctg}\ x)'=0</math> prej nga del:

<center>	<math>(\mathrm{arc}\ \mathrm{ctg}\ x)' = - (\mathrm{arc}\ \mathrm{tg}\ x)' = -\frac{1}{1+x^2}</math>.</center>

{{dygishta}}	Për funksionin e përbërë <math>y=\mathrm{arc\ ctg}\ u</math> kemi formulën:

<center>	<math>(\mathrm{arc}\ \mathrm{ctg}\ u)' = -\frac{1}{1 +u^2}</math> .	(60a)	</center>	

{{S h e m b u l l i|42.}} Derivati i funksionit <math>y=\mathrm{arc}\ \sin \sqrt{\sin x}</math> është:

<center>	<math>
y' =(\mathrm{arc}\ \sin \sqrt{\sin x})'=
\frac{(\sqrt{\sin x})'}{\sqrt{1-\sin x}}=
\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x-\sin^2 x}}.
</math>	</center>	

{{S h e m b u l l i|43.}} Derivati i funksionit <math>y =\mathrm{arc}\ \mathrm{tg}\ \frac{4\sin x}{3+5\cos x}</math> është: 

<center>	<math>
\begin{align}
y'
	&	=\left( \mathrm{arc}\ \mathrm{ctg} \frac{4\sin x}{3+5\cos x} \right)' 
		=\frac
			{\left(\frac{4\sin x}{3+5\cos x}\right)}
			{1+\left(\frac{4\sin x}{3+5\cos x} \right)^2}
		=\cdots
		=\frac{4(5+3\cos x)}{(5+3\cos x)^2}
\\	&	=\frac{4}{5+3\cos x}.
\end{align}</math>	</center>
{{Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta}}