Shih burimin për Hipi Zhdripi i Matematikës/1085

{{Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta}}
{{dygishta}}Numri kompleks <math>\scriptstyle \mathrm {x=re^{i\varphi}}</math> logaritmhet sipas rregullës për logaritmin e prodhimit, rrjedhimisht:

<center><math>\scriptstyle \mathrm {\ln e^{i\varphi}=\ln r+i\varphi}(...</math>    (...34)</center>
{{dygishta}}Pra, logaritmi i numrit kompleks <math>\scriptstyle \mathrm {z=re^{i\varphi}}</math> është numri kompleks <math>\scriptstyle \mathrm{w > x + iy}</math>, pjesa reale e të cilit është e barabartë me logaritmin e modulit <math>\scriptstyle \mathrm{(x=\ln r)}</math>, kurse pjesa imagjinare e barabartë me argumentin <math>\scriptstyle \mathrm{(y=\varphi)}</math> e numrit {{mate|z}}.
{{S h e m b u l l i|5.}} Të njehsohet:
<center>(a) <math>\scriptstyle \mathrm{\ln (1-i)}</math> , (b) <math>\scriptstyle \mathrm{\ln (i^i)}</math> </center>

{{Z g j i d h j e}}
{{dygishta}}(a) <math>\scriptstyle \mathrm {\ln (1-i)=\ln \sqrt {2} e^{-1 {\pi\over {4}}}=\textstyle{1 \over {2}}\scriptstyle \ln 2-i\textstyle{\pi\over 4}\scriptstyle=\textstyle{1 \over 4}\scriptstyle 2 \ln 2-i\pi;}</math>
{{dygishta}}(b) <math>\scriptstyle \mathrm {\ln i^{i}=\ln (e^{i{\pi\over {2}}})i= \ln (e^{-{\pi \over {2}}})=-\textstyle{\pi \over{2}}}.</math>
<center><b>4. ZGJIDHJA TRIGONOMETRIKE E EKUACIONIT BINOMIAL</b></center> 
{{P ë r k u f i z i m i|4.1.|Ekuacion binomial}}
{{dygishta}}Kur në ekuacionin binomial kufizën e lirë -{{thy|b/a}} e shprehim:
<center>{{mate|-{{thy|b/a}}{{Barazim}}r (cos {{si|varphi}} + i sin {{si|varphi}})}}</center>
:përftohe
<center>{{mate|x{{sup|n}}{{Barazim}}r (cos {{si|varphi}}+i sin {{si|varphi}})}},</center>
:nga marrim këto zgjidhje
<center><math>\scriptstyle \mathrm {x_{k}= \sqrt[n]{\mathrm {r (\cos\varphi+i\sin\varphi)}} \ k=0,1,2,...,n-1}</math>,</center>
:respektivisht

<center><math>\scriptstyle \mathrm {x_{k}=\sqrt [n] {r} \big( \cos \textstyle {\frac {\pi+2k\pi} {n}}\scriptstyle +i\sin \textstyle \frac {\pi+2k\pi} {n} \big) \scriptstyle \ k=0,1,2,...,n-1}.</math>    (...36)</center>
:ku <math>\scriptstyle \mathrm {r=\left | - \textstyle {b\over a}\right | }</math>

{{dygishta}}Pra, ekuacioni binomial i shkallës {{mate|n}} ka gjithsëj {{mate|n}} zgjidhje. 
{{S h e m b u l l i|6.}} Të zgjidhet ekuacioni binomial

<center>{{mate|m{{sup|2}}x{{sup|4}}+16{{Barazim}}0,{{si|jobaraz}}m{{si|enë}}{{si|nR}}}}.</center>
{{Z g j i d h j e}} Duke aplikuar formulën (36) përftohet:
<center><math>\scriptstyle \mathrm {x_k=\textstyle {\sqrt[4]{16\over {m^2}}}\Big( \scriptstyle \cos \textstyle {{\pi+2k\pi}\over 4} \scriptstyle +i \sin \textstyle {{\pi+2k\pi}\over 4} \Big), \ \scriptstyle k=0, 1, 2, 3}</math></center>
{{Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta}}
[[Category:Numrat kompleksë|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Category:Rrënjëzimi i numrave kompleksë|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Category:Logaritmi i numrave kompleksë|{{SUBPAGENAME}}]]
[[Category:Ekuacioni binomial|{{SUBPAGENAME}}]]