Shih burimin për Hipi Zhdripi i Matematikës/1038

{{Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta}}
{{P ë r k u f i z i m i|5.1.5.|Semigrupi}}
{{dygishta}} P.sh. : {{mate|( {{numratN}} , + ), ( {{numratN}} , .), ( {{numratZ}} , + ), (A, .)}} ku {{mate|A {{Barazim}} { - 1, 1 - i, i}, i {{Barazim}} <math>\scriptstyle { \sqrt {-1} }</math> }} janë semigrupe.
{{P ë r k u f i z i m i|5.1.6.|Element neutral}} 
{{dygishta}} Elementi neutral {{mate|e}} quhet edhe element ''njësi''. Në bashkësinë {{numratR}} elementi neutral për mbledhjen është {{mate|0}} (zero), ndërkaq për shumëzimin është {{mate|1}} . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët {{jo0}} . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik {{mate|f :x&rarr;x {{Barazim}} x, {{çdo}} x {{enë}} A}} . Grupoidi {{mate|( {{numratN}} , +)}} nuk ka elementin neutral.
{{T e o r e m a|5.1.1.}} ''Nëse grupoidi {{mate|(A, {{o}} )}} përmban elementin neutral, ai është i vetmi.''
{{V ë r t e t i m}} Le të supozojmë të kundërtën - se në {{mate|(A, {{o}} )}} ekzistojnë dy elemente neutrale {{mate|e{{sub|1}} , e{{sub|2}} (e{{sub|l}}  {{jo=}} e{{sub|2}} )}} për veprimin binar {{o}} . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari {{mate|e}} me {{mate|e{{sub|1}} }} , {{mate|a}} me {{mate|e{{sub|2}} }} dhe së dyti {{mate|e}} me {{mate|e{{sub|2}} }} , {{mate|a}} me {{mate|e{{sub|l}} }} përftojmë :
<CENTER> {{mate|e{{sub|2}}  {{o}} e{{sub|l}}  {{Barazim}} e{{sub|l}}  {{o}} e{{sub|2}}  {{Barazim}} e{{sub|l}} }} dhe {{mate|e{{sub|l}}  {{o}} e{{sub|2}}  {{Barazim}} e{{sub|2}}  {{o}} e{{sub|l}}  {{Barazim}} e{{sub|l}} }},</CENTER>
:prej kah rezulton se {{mate|e{{sub|l}}  {{Barazim}} e{{sub|2}} }} . Pra, konkludojmë se grupoidi {{mate|(A, {{o}} )}} nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin {{mate|o}} .
{{P ë r k u f i z i m i|5.1.7.|Element invers}}
:P.sh.,
{{dygishta}} Elementi invers i elementit {{mate|a}} rëndom shënohet me {{mate|a{{sup|-1}}}} . P.sh., në semigrupin {{mate|( {{numratZ}} , +)}} me elementin neutral {{mate|0}} , për cilindo element {{mate|a {{enë}}  {{numratZ}} }} elementi invers është numri i kundërt {{mate|(-a) {{enë}} {{numratZ}} }} , ndërkaq në semigrupin {{mate|( {{numratZ}} , .)}} , përveç elementeve {{mate|-1}} dhe {{mate|1}} , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin {{mate|( {{numratQ}} , .)}} me elementin neutral {{mate|1}} , për cilindo element {{mate|a {{enë}} Q}} , elementi invers është numri reciprok {{mate| {{thy|1/a}}{{enë}} {{numratQ}} }} .
{{T e o r e m a|5.1.2.}} ''Nëse semigrupi {{mate|(A, {{o}} )}} për elementin {{mate|a {{enë}} A}} përmban elementin invers {{mate|a{{sup|-1}}  {{enë}} A}} , ai është i vetmi.''
{{V ë r t e t i m}} : Le të supozojmë të kundërtën - se {{mate|b{{sub|1}} , b{{sub|2}} }} janë dy elemente inverse të elementit {{mate|a {{enë}} A}} . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari {{mate|b}} me {{mate|b{{sub|1}} }} , së dyti {{mate|b}} me {{mate|b{{sub|2}} }} përftojmë :
<CENTER> {{mate|a {{o}} b{{sub|1}}  {{Barazim}} b{{sub|1}}  {{o}} a {{Barazim}} e }} dhe {{mate|a {{o}} b{{sub|2}}  {{Barazim}} b{{sub|2}}  {{o}} a {{Barazim}} e}} .</CENTER>
:Meqë {{mate|a {{o}} b{{sub|1}} {{Barazim}} e}} dhe veprimi {{o}} është asociativ, kemi:
<CENTER> {{mate|b{{sub|2}} {{o}} (a {{o}} b{{sub|1}} ) {{Barazim}} b{{sub|2}} }} dhe {{mate|b{{sub|2}}  {{o}} (a {{o}} b{{sub|1}} ) {{Barazim}} (b{{sub|2}} {{o}} a) {{o}} b{{sub|1}}  {{Barazim}} e {{o}} b{{sub|1}}  {{Barazim}} b{{sub|1}} }} </CENTER>
:d.m.th. se {{mate|b{{sub|1}} {{Barazim}} b{{sub|2}} }} , çka duhej vërtetuar.
{{Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta}}
[[Category:Algjebra e përgjithëshme|{{SUBPAGENAME}}]]