Shih burimin për Grupi dhe nëngrupi

{{StyllaAlgjebraepërgjithëshme|Grupi}}
Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
==Përkufizimi==
{{HZP|Grupi}} 
==Sistemi i aksiomave të grupit==
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët <math>A</math> lidhur me veprimin binar <math>\circ</math> është grup, nëse plotësohen këto kushte :
: (a<sub>1</sub>) Bashkësia <math>A</math> është e mbyllur lidhur me veprimin binar <math>\circ</math> , pra:
<CENTER> <math>(\forall a, b \in A)( \exist ! c \in A) a \circ b = c</math> ;</CENTER>
: (a<sub>2</sub>) Veprimi binar {{o}} është asociativ, pra :
<CENTER> <math>( \forall a, b, c \in A)(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)</math> ;</CENTER>
: (a<sub>3</sub>) Në bashkësinë <math>A</math> ekziston elementi neutral për veprimin binar <math>\circ</math> , pra :
<CENTER> <math>(\exist ! e \in A)( \forall a \in A)a \circ e = e \circ a = a</math> ; dhe</CENTER>
: (a<sub>4</sub>) Për secilin element <math>a \in A</math> ekziston elementi invers <math>a^{-1}  \in A</math> ashtu që :
<CENTER> <math>a \circ a^1 = a^{-1} \circ a = e</math> .</CENTER>

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

==Llojet e grupit==
Nëse veprimi binar <math>\circ</math> është komutativ, <math>(A, \circ )\!</math> quhet grup ''komutativ'' ose ''abelian''<ref>14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .</ref>. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, <math>(A, +)\!</math> , respektivisht <math>(A,\cdot)\!</math> quhet grup ''aditiv'', respektivisht grup ''multiplikativ''. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : <math>( \mathbb{Q}  , + ), (  \mathbb{R} , + ), (  \mathbb{R}\setminus  \mathbb{Q} , + )</math> , ndërkaq grupe multiplikative janë : <math>( \mathbb{Q}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace,\cdot), ( \mathbb{R}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace , \cdot), (A, \cdot)</math> ku <math>A = \left\lbrace -1, 1, - i, i \right\rbrace\!</math> . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
===Grupi aditiv dhe multiplikativ===
P.sh.: Të tregohet se bashkësia <math>A = \left\lbrace 0, 1, 2, 3, 4\right\rbrace</math> në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math> është grup aditiv <math>(A, +_5 )\!</math> , kurse bashkësia <math> B = \left\lbrace  1, 2, 3, 4, 5, 6\right\rbrace</math> në lidhje me shumëzimin, sipas <math>\mathrm{modulit}\ 7\!</math> , është grup multiplikativ <math>(B, \cdot_7 )\!</math> .

<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math> , respektivisht <math>7\!</math> duket kështu:
<math>\begin{array}{c|cccccccc}
+_5   & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
0     & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1     & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
2     & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
3     & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\
4     & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{array}\qquad
\begin{array}{c|cccccccc}
+_7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1   & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
2   & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\
3   & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\
4   & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\
5   & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
6   & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{array}
</MATH>

Nga këto tabela shihet se:
: (1) <math>(A, +_5)\!</math> është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math>:
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
\mathrm{Elem.\ i\ kund\ddot{e}rt} & 4 & 3 & 2 & 1 & 0
\end{array}
</MATH>
: (2) <math>(B, \cdot_7 )</math> është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas <math>\mathrm{modulit}\ 7\!</math> :
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\mathrm{Elem.\ invers} & 1 & 4 & 5 & 2 & 3 & 6
\end{array}
</MATH>

==Veprimet në grup==
Në përgjithësi, kur në grupin  <math>(A, \circ)</math> :
: - veprimi binar quhet ''mbledhje'' dhe në vend të simbolit <math>\circ</math> përdoret simboli <math>\oplus</math> , atëherë <math> (A, \oplus)</math> quhet ''grup aditiv'' ; ndërsa kur
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit <math>\circ</math> përdoret simboli <math>\odot</math> , atëherë <math>(A, \odot )</math> quhet ''grup multiplikativ''.

Për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}} )}} elementi neutral shënohet me {{mate|0}} , kurse elementi invers (i kundërt) me {{mate|- a}} .
 {{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia  <math>A = (a, b) | a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z}</math>  në lidhje me veprimin <math>\oplus</math> të përkufizuar me formulën :
<CENTER>  <math>(a, b) \oplus (c, d) = (a+c, b+d)</math> </CENTER>
:është grup {{mate|(A, {{o+}} )}} .
 {{Z g j i d h j e}} : Meqë bashkësia {{mate|A}} në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :


: (a<sub>1</sub>) <math>\begin{array}{l}
(\forall (a,b),\ (c,d) \in A)(\exist!\ (e, f) \in A)  \\
(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,\ b+d)=(e,f)  \\
\end{array}</math>


: (a<sub>2</sub>) <math>
\begin{array}{rl}
(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A) 	&  					\\
(a, b)\oplus  [ (c, d)\oplus  (e, f)]	&= (a, b)\oplus  (c + e, d + f )	\\
 					& = (a+c+e, b+d+ f )			\\
 					& = (a+c, b+d)\oplus  (e, f) 		\\
 					& = [(a, b) \oplus (c, d)\oplus  (e, f)]\\ 
\end{array}</math> 
: (a<sub>3</sub>) <math>
\begin{array}{l}
(\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (0,0)\in A)	 \\
(a, b)\oplus  (0, 0) = (0, 0)\oplus  (a, b) = (a, b) 	\\
\end{array}</math> dhe
: (a<sub>4</sub>) <math>
\begin{array}{l}
(\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (-a,-b)\in A)	 \\
(a, b)\oplus  (-a, -b) = (-a, -b) \oplus (a, b) = (0, 0)	\\
\end{array}</math>

konkludojmë se <math>(A, \oplus )</math> është grup aditiv.
==Grupi i fundëm dhe i pafundëm==
Grupi <math>(A, \oplus )</math> quhet ''i fundëm'' ose ''i pafundëm'' varësisht prej faktit se bashkësia <math>A</math> a është fundme apo e pafundme.
===Përkufizimi===
{{HZP|Grupi i fundëm abelian}}
===Elementi përlindës===
{{dygishta}}Elementi i tillë {{mate|a}} quhet ''përlindëse'' e grupit {{mate|(A, {{o}})}}.
<!---------------------------------------------------------------------------------------- -->
{{S h e m b u l l i|21}} Grupi {{mate|(A, •)}}, ku {{mate|A{{Barazim}}<math> \Big\{ \scriptstyle {1,} \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} </math> <math> \Big\} </math>}} është grup ciklik me dy përlindëse:<math>\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}</math> dhe <math>\textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}</math>.Vërtet: {{mate|<math>\Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}, </math>}} etj.
<!---------------------------------------------------------------------------------------- -->
==Vetitë e grupit==
Prej aksiomave (a{{sub|1}}) - (a{{sub|4}}) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:
====Vetia e elementit invers====
{{V e t i a|1.}}Nëse në grupin {{mate|(A, {{o}}) a{{sup|-1}} }} është element invers i elementit {{mate|a}}, edhe elementi {{mate|a}} është invers për elementin {{mate|a{{sup|-1}} }}, d.m.th. {{mate|(a{{sup|-1}}){{sup|-1}} {{Barazim}}a}}.

Kjo veti për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}}) }} ka këtë trajtë: {{mate|-(-a){{Barazim}}a}}.
====Vetia e rrënjës====
{{V e t i a|2.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} secili barazim 

(1) {{mate|a{{o}}x{{Barazim}}b}},2) {{mate|y{{o}}a{{Barazim}}b}}

ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .{{mate|x {{Barazim}} a{{sup|-1}} {{o}} b}}, kurse për barazimin (2) trajtën {{mate|y {{Barazim}} b {{o}} a{{sup|-1}} }}. {{dygishta}}Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}}) barazimet
<center>{{mate|a {{o+}} x{{Barazim}}b}} dhe {{mate|y {{o+}} a{{Barazim}}b}}</center>
:kanë një zgjidhje të përbashkët: {{mate|x{{Barazim}}y{{Barazim}}(-a) {{o+}} b{{Barazim}}b {{o+}} (-a){{Barazim}}b-a}}. 
====Vetit e implikuacioneve====
{{V e t i a|3.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} vlejnë këto implikacione:
<center>{{mate|a {{o}} b {{Barazim}} a{{o+}}c{{implikacion}} b{{Barazim}}c}},</center>
<center>{{mate|b{{o}}a{{Barazim}}c{{o}}a{{implikacion}} b {{Barazim}} c}}.</center>
{{dygishta}}Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} vlen implikacioni
<center>{{mate|a {{o+}} b{{Barazim}}a {{o+}} c{{implikacion}} b{{Barazim}}c}}.</center>
====Vetia e vlerfshmëris së barazimit====
{{V e t i a|4.}} Në secilin grup {{mate|(A, {{o+}})}} vlen barazia:
<center>{{mate|(a{{o}}b){{sup|-1}}{{Barazim}}b{{sup|-1}}{{o}}a{{sup|-1}} }}.</center>

Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} kjo veti shprehet me formulën:
<center>{{mate|-(a {{o+}} b){{Barazim}}(-a) {{o+}} (-b)}}.</center>

==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit==

{{dygishta}}Le të jenë {{mate|(A, {{o}}), (B, {{*}} ) }} dy grupe dhe {{mate|h:A&rarr;B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate|A}} në bashkësinë {{mate|B}}. Thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate|(B, {{*}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} në grupin {{mate|(B, {{*}} ) }}, nëse (fig. 1.17.):
<center>{{mate|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{Barazim}} h (a) {{*}} h (b) }}.(...51)</center>
{{dygishta}}Kur {{mate|h (A){{Barazim}}B}}, {{mate|h}} quhet ''homomorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} mbi grupin {{mate|(B, {{*}})}} ose ''homomorfizëm'' surjektiv apo ''epimorfizëm'' (fig. 1.18.).

:::Fig. 1.18. Fig. 1.17.
{{dygishta}}Nëse {{mate|e}} dhe {{mate|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate|(A, {{o}})}} dhe {{mate|(B, {{*}})}}, atëherë kemi:
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 
| {{mate|h (a) {{Barazim}} h (a {{o}} e) {{Barazim}} h (a) {{*}} h (e)}}
|rowspan="2"|{{mate| <math> \Big\} </math>  h (e) {{Barazim}} e'}},
|-
| {{mate|h (a) {{Barazim}} h (e {{o}} a) {{Barazim}} h (e) {{*}} h (a)}}
|}
:çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate|(B, {{*}})}}.
{{T e o r e m a|6.1.1.| Nëse {{mate|h{{sub|1}} }} është homomorfizëm i {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}})}} në {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}})}} dhe h{{sub|2}} homomorfizëm i {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}})}} në {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}})}}, shumëzimi {{mate|h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}} }} është homomorfizëm i {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}})}} në {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}})}}.}}
{{V ë r t e t i m}} Nga hipotezat e teoremës kemi:
{|
|{{dygishta}}
| valign="top"|(1) {{mate|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub|1}} (a{{o}}{{sub|1}} b) }}<br />.
| {{mate|{{Barazim}}h{{sub|1}}(a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}}(b)}}<br>{{mate|{{Barazim}}a'{{o}}{{sub|2}} b'}}, ku {{mate|a' {{Barazim}} h {{sub|1}} (a), b'{{Barazim}}h{{sub|1}} (b)}};
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|(2) {{mate|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub|2}} (a'{{o}}{{sub|2}} b')}}
| {{mate|{{Barazim}}h{{sup|2}}(a'){{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} (b')<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}}(a)] {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}}(h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}.
|}
{{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
{|
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|{{mate|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (a {{o}}{{sub|1}} b)}}
|{{mate|{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a {{o}}{{sub|1}} b)]<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a) {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}} (h{{sub|2}} {{o}} h {{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}
|}
:dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
{{dygishta}}Homomorfizmi injektiv i grupit {{mate|(A, {{o}}) }} në grupin {{mate|(B, {{*}}) }} quhet <i>izomorfizëm</i> i {{mate|(A, {{o}}) }} në {{mate|(B, {{*}})}} (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi {{mate|h}} është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i {{mate|(A, {{o}}) }} mbi {{mate|(B, {{*}}) }} quhet izomorfizëm i {{mate|(A, {{o}})}} mbi {{mate|(B, {{*}})}} dhe thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}}) }}, {{mate|(B, {{*}}) }} janë <i>izomorfe</i> ndërmjet tyre.
{{dygishta}}Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
:Fig. 1.20.
{{T e o r e m a|6.1.2.| Nëse {{mate|i{{sub|1}} }} është izomorfizëm i grupit {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}}) }} mbi grupin {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}}) }} dhe {{mate|i{{sub|2}} }} izomorfizëm i {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}}) }} mbi {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}}) }}, shumëzimi {{mate|i{{sub|2}} {{o}} i{{sub|1}} }} është izomorfizëm i grupit {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}}) }} mbi grupin {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}}) }}. }}
{{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
{{S h e m b u l l i|23.}} Të shohim grupet {{mate|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate|h:{{numratR}}+&rarr;{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate|{{numratR}}+}} në {{mate|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën:
<center>{{mate|h:x&rarr;y{{Barazim}} log x, {{çdo}}x{{enë}}{{numratR}}{{sup|+}} }}.</center>
{{dygishta}}Meqë vlen:
<center>{{mate|({{çdo}}x{{sub|1}}, x{{sub|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup|+}}) log (x{{sub|1}} • x{{sub|2}}){{Barazim}} log x{{sub|1}} +log x{{sub|2}} }},</center>
:themi se {{mate|(R{{sup|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate|h}} është izomorfizëm.
Fig. 1.19.
----
<references/>
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]]