Shih burimin për Fuqia e matricave katrore

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|Matricat}}
Kur matrica katrore <math>A = [a_{ik}]^n_1</math> shumëzohet me vetveten, përftohet katrori i saj që shënohet <math>A^2</math>. Ndërkaq fuqia <math>m</math> e matricës katrore <math>A</math> përkufizohet me relacionin:

<center><math>A^m \ \overset {p\ddot{e}rk} {=} \ \begin{cases}  \underbrace {AA...A}_{m-her\ddot{e}} & kur \ 1 \ne m \in N \\ A, & kur \ m=1	\\ E, & kur \ m=0 \end{cases}</math>.</center>

Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:

: (c<sub>1</sub>) <math>A^m A^n=A^{m+n}</math> ;
: (c<sub>2</sub>) <math>(A^m)^n=A^{mn}</math> ,
: (c<sub>3</sub>) <math>(AB)^m=A^m B^m</math> , nëse matricat <math>A</math>, <math>B</math> janë komutative.
==Polinomi matricial==
Shprehja e formës:

<center><math>p (X)=a_0 X^n+a_1 X^{n-1} + \cdots +a_{n-1} X+a_n E</math>,	(...20)</center>

ku <math>X</math> dhe <math>E</math> janë matrica katrore dhe matrica e njësishme të rendit të njëjtë, kurse <math>a_0, a_1, \cdots , a_n</math> numra çfarëdo, quhet <i>polinom matricial</i><ref>2) Për polinome bëjmë fjalë në kap. X.</ref>.

==Ekuacioni matricial==
Ekuacioni i formës:

<center><math>a_0 X^n+a_1X^{n-1} + \cdots +a_{n-1}X+a_n E =0</math>	(...21)</center>

quhet <i>ekuacion matricial</i>.

==Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues==
Është e qartë se polinomi matricial <math>p (X)</math> është matricë. Madje, në përgjithësi, polinomi matricial mund të përftohet kur në polinomin e zakonshëm

<center><math>p(x)=a_0 x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-l}x+a_n</math></center>

zëvendësohet në vend të variablit <math>x</math> matrica <math>A</math> dhe në vend të kufizës së lirë <math>a_n</math> matrica skalare <math>a_nE</math> e rendit të njëjtë me matricën <math>A</math>. Nëse me atërast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse <math>p (A)=0</math>, matrica <math>A</math> quhet <i>rrënja e polinomit <math>p (x)</math></i>, kurse polinomi <math>p (x)</math> quhet <i>polinom anulues</i> për matricën <math>A</math>.
==Shembuj==
Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.

<u>V ë r t e t i m:</u> Le të jenë <math>S = [d\delta_{ik}]^n_{1}</math> dhe <math>A = [a_{ik}]^n_{1}</math> çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit <math>n</math>. Meqë është:

: (a) <math>S \cdot A=(dE) . A=d (E \cdot A)=dA</math> ; dhe 
: (b) <math>A \cdot S=A . (dE)=d (A \cdot E)=dA</math> ,

prandaj konkludojmë se vlen relacioni <math>S . A=A \cdot S</math>. 
----
Të vërtetohet barazia

<center><math>\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^n =\begin{bmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{bmatrix}, ku \ n \in N</math> .</center>

<u>V ë r t e t i m</u>: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor, 

Për <math>n=2</math> kemi:

<center><math>\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{bmatrix}</math>.</center>

Tani supozojmë se barazia është e saktë për <math>n = m - 1 (\geqslant-2)</math>:

<center><math>\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^{m-1}=\begin{bmatrix} a^{m-1} & (m-1)a^{m-2} \\ 0 & a^{m-1} \end{bmatrix}</math> . </center>

Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën <math>\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}</math> del:

<center><math>\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^m =\begin{bmatrix} a^{m-1} & (m-1)a^{m-2} \\ 0 & a^{m-1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^m & ma^{m-1} \\ 0 & a^m \end{bmatrix}</math>.</center>

çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë <math>\forall n \in N</math>.
----
Të zgjidhet ekuacioni matricial
<center><math>2X + 5E = 3A</math>,</center>

ku <math>E</math> është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse 

<center> A = <math>\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 6 & 4 & -1 \end{bmatrix}</math> .</center>

<u>Z g j i d h j e</u> Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:

<math>2X=3A-5E=3 \begin{bmatrix}3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 &-2 \\ 6 & 4 & -1 \end{bmatrix} -5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=	</math>

<math>=
\begin{bmatrix}  \;9 & \ 6 & \;0 \\ \;0 & \;3 &  -6 \\  18 &  12 & -3 \end{bmatrix} + 
\begin{bmatrix}   -5 & \;0 & \;0 \\ \;0 &  -5 & \;0 \\ \;0 & \;0 & -5 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}  \;4 & \;6 & \;0 \\ \;0 &  -2 &  -6 \\  18 &  12 & -8 \end{bmatrix}
</math>
:respektivisht
<center><math>
X=
\begin{bmatrix}
9 & \;3 & \;0 \\ 0 &  -1  & -3 \\ 9 & \;6 & -4
\end{bmatrix}
</math></center>
[[Transponimi i matricës]]
[[Category:Matricat]]