Shih burimin për Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|Matricat}}
Në bazë të formulave (5) dhe (18) sistemi i ekuacioneve lineare (34) mund të shprehet në këtë mënyrë:

<center><math>
\begin{bmatrix}
a_{1l}x_1	+a_{12}x_2	+ \cdots 	+a_{1n}x_n	\\
a_{21}x_1	+a_{22}x_2	+ \cdots 	+a_{2n}x_n	\\
\vdots 								\\
a_{n1}x_1	+a_{n2}x_2	+ \cdots 	+a_{nn}x_n	\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
b_1	\\
b_2	\\
\vdots	\\
b_n
\end{bmatrix} </math></center>

respektivisht

<center><math>
\begin{bmatrix}
a_{1l}	&	a_{12}	& \cdots 	&	a_{1n}		\\
a_{21}	&	a_{22}	& \cdots 	&	a_{2n}		\\
\dots	&	\dots 	& \dots 	&	\dots		\\
\dots	&	\dots 	& \dots 	&	\dots		\\
a_{n1}	&	a_{n2}	& \cdots 	&	a_{nn}		\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1	\\
x_2	\\
\vdots	\\
x_n
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
b_1	\\
b_2	\\
\vdots	\\
b_n
\end{bmatrix} </math>(...39)</center>

që quhet <i>forma matriciale</i> e sistemit të ekuacioneve lineare (34), ku <math>A</math> është matrica e atij sistemi, <math>X</math> matrica njështyllore elementet e së cilës janë të panjohurat <math>x_k \ (k=1, 2, \cdots, n)</math>, kurse <math>B</math> matrica njështyllore elementet e së cilës janë kufizat e lira <math>b_k \ (k=1, 2, \cdots, n)</math>. Algoritmi i zgjidhjes së ekuacionit matricial <math>AX=B</math> është sa vijonë:

<center><math>AX=B/ \cdot A^{-1} \Rightarrow A^{-1} (AX)=A^{-1}B</math>,</center>

prej nga me aplikimin e ligjit të asociacionit përftohet:

<center><math>(A^{-1} A) X=A^{-1}B \Rightarrow EX=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B</math>.</center>

Nëse tani në relacionin e fundit aplikojmë formulën (37) kemi:

<center><math>X=\frac {adj\; A}{\det A} B=\frac{1}{D} (adj\; A) B</math></center>

respektivisht

<center>
<math>X=
\frac {1}{D}
\begin{bmatrix}
b_1A_{11}	+b_2A_{21}	+ \cdots 	+b_nA_{n1}	\\
b_1A_{12}	+b_2A_{22}	+ \cdots 	+b_nA_{n2}	\\
\vdots								\\
b_1A_{1n}	+b_2A_{2n}	+ \cdots 	+b_nA_{nn}	\\
\end{bmatrix}
=\frac{1}{D}
\begin{bmatrix}
D_1	\\
D_2	\\
\vdots	\\
D_n
\end{bmatrix} </math>(...40)</center>

prej nga del:

<center><math>x_k=\frac {D_k}{D} \ (k=1,2,\cdots, n)</math>	(...40a)</center>

që janë në të vërtetë formulat e <i>Cramerit</i>.
==Shembuj==
Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve

<center><math>\begin{matrix}
2 x_1	&+& 	\ x_2	&-&	5 x_3	&+& 	\ x_4	&=& 	\ 8 	\\
	& &	\ x_1	&-&	2 x_2	&-&	6 x_4	&=&	\ 9	\\
	& &	2 x_2	&-&	\ x_3	&+&	2 x_4	&=&	-5	\\
\ x_1	&+&	4 x_2	&-&	7 x_3	&+&	6 x_4	&=&	\ 0 	\\
\end{matrix}</math></center>

<u>Zgjidhje</u> Meqenëse <math>\det A = 27</math> dhe

<center><math>A^{-1}=\frac {1}{27} 
\begin{bmatrix}
 36	&	\! -18	&	\; 9 	&	\!-27 \\
 -2 	&	\;\  7	&	\ 31 	&	\ -3  \\
 10	&	\ -8	&	\;\ 7 	&	\! -12 \\
\;\ 8	&	\! -11	&	 -14 	&	\ -3   \\
\end{bmatrix}</math></center>

prandaj kemi

<center><math>X=A^{-1}B=\frac {1}{27} 
\begin{bmatrix}
 36	&	\! -18	&	\; 9 	&	 -27 \\
 -2 	&	\  7	&	\ 31 	&	\ -3 \\
 10	&	\ -8	&	\; 7 	&	 -12 \\
\ 8	&	\! -11	&	 -14 	&	\ -3 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
\;\ 8 \\
\;\ 9 \\
  -5 \\
\;\ 0 \\
\end{bmatrix}
=\frac {1}{27}
\begin{bmatrix}
81 \\
-108 \\
-27 \\
27  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\
-4 \\
-1 \\
1  \\
\end{bmatrix}
</math></center>

respektivisht

<center> <math>x_1=3,\ x_2=-4,\ x_3=-1,\ x_4=1.</math> </center> 

[[Kategoria:Matricat]][[Kategoria:Ekuacionet]]